使用拉格朗日乘数法求约束集上函数的下确界与上确界时推导出现矛盾，请求排查错误

问题背景 #

给定集合 $A = {(x, y, z) \in \mathbb R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 2, xy + yz +zx +1 = 0}$，我需要找到函数 $f(x, y, z) = 2x+ 2y-3z$ 在集合 $A$ 上的下确界和上确界。

我尝试用拉格朗日乘数法来解决，构造拉格朗日函数后得到了如下方程组：
$$
\begin{cases}
2= \alpha x + \beta (y + z) \
2= \alpha y + \beta (x + z) \
-3 = \alpha z+ \beta (x + y) \
x^2 + y^2 + z^2 =2 \
xy + yz + zx +1 = 0
\end{cases}
$$

第一步推导：对比前两个方程 #

我把前两个方程相减，化简后得到：
$$
0 = \alpha(x-y) + \beta(y-x) \implies (x-y)(\alpha - \beta) =0
$$
由此得出两种可能的情况：$y=x$ 或者 $\alpha = \beta$

情况1：$y=x$ #

我将 $y=x$ 代入约束条件 $xy + yz +zx +1 = 0$，得到：
$$
x^2 + 2xz +1 =0 \implies 2xz = -1 -x^2 \implies z = \frac{-1-x^2}{2x}
$$
接着把 $y=x$ 和上面的 $z$ 表达式代入另一个约束 $x^2 + y^2 + z^2 =2$：
$$
2x^2 + \left(\frac{-1-x^{2}{2x}\right)}2 =2
$$
展开并整理后得到：
$$
9x^4 -6x^2 +1=0
$$
解这个关于 $x^2$ 的二次方程，得到 $x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$，对应的坐标为：

• $\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$
• $\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

但当我把第一个坐标代入拉格朗日方程组验证时，出现了矛盾：比如从第一个方程和第三个方程推导，得到 $\frac{9}{2} = \sqrt{3}(\alpha - \beta)$ 和 $6=\sqrt{3}(\alpha - \beta)$，这两个式子显然不能同时成立。

情况2：$\alpha = \beta$ #

如果令 $\alpha = \beta$，代入第一个方程可得 $2 = \alpha(x+y+z)$，代入第三个方程可得 $-3 = \alpha(x+y+z)$，这就出现了 $2=-3$ 的矛盾，显然不成立。

现在我很困惑，两种情况都导出了矛盾，但这个问题应该是有解的，有没有人能帮我检查一下推导过程中哪里出错了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者qerty149