GF(4)中各元素的阶与极小多项式求解咨询

嘿，你的阶的计算完全正确！先给你确认一下：

• 0的阶：通常我们说0的加法阶是1（因为0+0=0），如果是乘法阶的话0没有定义，但你这里写的|0|=1是合理的（很多教材会这么约定）。
• 1的阶：乘法阶是1，因为1×1=1，完全没错。
• x的阶：乘法阶是3，因为x¹=x≠1，x²=x+1≠1，x³=x×x²=x(x+1)=x²+x=(x+1)+x=1，刚好满足阶的定义，正确。
• x+1的阶：同样，(x+1)¹=x+1≠1，(x+1)²=x²+2x+1=x²+1=(x+1)+1=x≠1，(x+1)³=(x+1)(x)=x²+x=1，所以阶也是3，完全正确！

接下来给你讲每个元素的极小多项式怎么求：

1. 元素0的极小多项式 #

0是多项式x的根，而且x是ℤ₂上的一次不可约多项式，所以0的极小多项式就是x。

2. 元素1的极小多项式 #

1满足方程x-1=0，在ℤ₂里-1等价于1，所以方程变成x+1=0，x+1是ℤ₂上的一次不可约多项式，因此1的极小多项式是x+1。

3. 元素x的极小多项式 #

你已经知道GF(4)是通过ℤ₂添加x²+x+1的根得到的，所以x本身就是这个多项式的根。而且x²+x+1在ℤ₂上不可约（代入0得1，代入1得1+1+1=1，都不为0，没有一次因式），所以它就是x的极小多项式。

4. 元素x+1的极小多项式 #

我们可以直接代入计算x+1满足的多项式：
把x+1代入x²+x+1，得到：
(x+1)² + (x+1) + 1 = x²+2x+1 +x+1+1
在ℤ₂里2=0，化简后就是x²+x+1，结果为0（因为x满足x²+x+1=0，代入可得(x+1)+x+1=0）。
这说明x+1也是x²+x+1的根，加上这个多项式不可约，所以它也是x+1的极小多项式。

简单总结一下：

• 0：极小多项式x，阶1（加法阶）
• 1：极小多项式x+1，乘法阶1
• x：极小多项式x²+x+1，乘法阶3
• x+1：极小多项式x²+x+1，乘法阶3

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Matt