有效括号问题后续：添加最少括号生成平衡字符串方案咨询

递归思路 #

递归核心是把大问题拆成更小的子问题，每次取当前子串的最优解：

• 终止条件：子串为空直接返回空；子串本身是平衡括号则返回原串。
• 分情况处理：
  1. 若子串首尾字符匹配（如(和)、[和]），则递归处理中间子串，最终结果为首字符 + 中间子串最优解 + 尾字符。
  2. 若首尾不匹配，遍历所有拆分点k（从子串起始到倒数第二个位置），将子串拆分为s[i..k]和s[k+1..j]，分别递归求解两个子串的最优解，拼接后取长度最短的结果。
  3. 针对单个不匹配字符：左括号直接补对应右括号，右括号直接补对应左括号。

这种思路会自动筛选出添加括号最少的结果，因为每次拆分都取最短的拼接结果。

动态规划（DP）方案 #

递归存在重复计算问题时，用DP缓存子问题结果可避免重复运算：

定义状态 #

dp[i][j]表示子串s[i..j]经最少添加括号后得到的平衡字符串。

初始化 #

• 当i == j时：
  • 若s[i]是左括号（(或[），dp[i][j] = s[i] + 对应右括号（如(对应()）；
  • 若s[i]是右括号，dp[i][j] = 对应左括号 + s[i]（如)对应()）。

状态转移 #

1. 先检查首尾字符是否匹配：
   • 如果匹配，先计算temp = s[i] + dp[i+1][j-1] + s[j]，后续和拆分结果比较长度取更短的。
2. 遍历所有拆分点k（i ≤ k < j），计算temp_k = dp[i][k] + dp[k+1][j]，记录其中长度最短的temp_k。
3. 比较temp（首尾匹配时）和所有temp_k的长度，将最短的字符串赋值给dp[i][j]；长度相同时任意选一个即可。

最终结果 #

dp[0][n-1]（n为原字符串长度）就是原字符串的最优解。

示例验证 #

以"([)]"为例：

• 处理子串[1..2]（"[)]"）：初始化dp[1][1] = "[]"，dp[2][2] = "()"，拆分后拼接得"[]()"，或直接补括号得"[()]"，两者长度相同，dp[1][2]可任选其一。
• 处理整个串[0..3]：首尾(和)匹配，若dp[1][2]取"[()]"，最终结果为"([()])"；若拆分k=1，dp[0][1] = "([])"、dp[2][3] = "()"，拼接得"([])()"，均符合要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shailendra