初等对称多项式根与开上半平面关系的剩余情况证明问询

各位好，我现在遇到了一个关于初等对称多项式和开上半平面的问题，想请教大家：

我们定义开上半平面 $H={u \in \mathbb{C}: \text{im}(u)>0}$。对于 $n \in \mathbb{N}$ 和 $k = 1, \ldots, n$，$n$ 个变量的 $k$ 次初等对称多项式为：
$$e_{n,k}(x_1,\ldots,x_n)=\sum\limits_{1 \leq j_1 < \ldots < j_k \leq n}_{\prod\limits_{r=1}^k}x_{j_r}$$

我需要证明的结论是：任何满足 $e_{n,k}(u_1,\ldots,u_n)=0$ 的 $u \in \mathbb{C}^n$，都不在 $H^n$ 中。

目前我已经理清了几个特殊情况：

• 对于最高次初等对称多项式 $e_{n,n}=\prod\limits_{r=1}^n x_r$：如果它等于0，那么必然存在至少一个 $u_i=0$，而 $0 \notin H$，因此 $u \notin H^n$，这个结论很直观。
• 对于一次初等对称多项式 $e_{n,1}=\sum\limits_{r=1}^n x_r$：若 $u \in H^n$，则每个 $u_i$ 的虚部均为正，由于 $H$ 对加法封闭，它们的和的虚部也为正，因此 $e_{n,1}(u) \in H$，而 $0 \notin H$，所以 $e_{n,1}(u) \neq 0$。
• 另外我还发现，结论对 $e_{n,k}$ 成立当且仅当对 $e_{n,n-k}$ 成立——因为 $H$ 对映射 $u \mapsto -\frac{1}{u}$ 封闭，对每个变量做该变换后，$e_{n,k}$ 与 $e_{n,n-k}$ 存在对应等价关系，因此这两类情况可以相互推导。

不过现在我卡在了剩下的中间情况（即既不是1次、n次，也不是与它们等价的n-k次的那些k值），不知道该如何完成证明。有没有大佬能给点思路或者方法呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者leon.fuchsler