二阶欧拉微分方程$r^2f''+rf'-n^2f=0$的解形式验证及唯一性证明问询

各位好，我目前在研究二阶欧拉微分方程$r^2f''+rf'-n2f=0$（$r>0$）的解的形式与唯一性问题，已经完成了部分推导，但最后一步卡住了，想和大家交流一下我的思路并寻求帮助：

• 验证解的形式：我已经确认$f(r)=ar^n+br{-n}$代入方程后，确实满足$r^2f''+rf'-n2f=0$（$r>0$），这部分推导是没问题的。
• 反证法尝试唯一性证明：接下来我想用反证法证明所有解都能表示成这个形式。假设存在另一个解$g(r)$也满足该方程，我考虑了两个点的函数值：
  $$f(1)=a+b \quad \quad f(x_0)=ax_0^n+bx_0{-n}$$
  计算对应的系数矩阵行列式：$\det \begin{bmatrix}1 &1\ x_0^n & x_0^{{-n}\end{bmatrix}=0$当且仅当$x_0}{2n}=1$。所以只要选取$x_0>1$或者$0<x_0<1$，这个行列式就不为0，此时我们可以通过选择合适的$a$和$b$，让$f(r)$在$r=1$和$r=x_0$处与$g(r)$的取值完全一致。
• 构造差函数后的困境：我构造了差函数$h(r)=f(r)-g(r)$，显然$h(r)$也是原微分方程的解，而且满足$h(1)=0$、$h(x_0)=0$。我本来想构造$E=h^2$，尝试证明$E$是常数，这样就能因为$E$在两个点处为0，推出$E\equiv0$，进而得到$h(r)\equiv0$，完成唯一性证明，但这个思路好像走不通，不知道问题出在哪里，或者有没有其他方法可以完成这个证明？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kadmos