关于有理数域上满足A⁷=I的4阶矩阵相似类数量的疑问

咱们一步步来拆解你的问题，先解决最核心的疑惑：

首先，不管基域是$\mathbb{Q}$还是$\mathbb{C}$，只要$A^{7=I$，$A$的极小多项式$m_A(x)$一定整除$x}7-1$。这是极小多项式的基本性质——对于域上的任意矩阵$A$，如果某个多项式$f(x)$能让$f(A)=0$，那$A$的极小多项式必然是$f(x)$的因式，这个结论和基域无关，$\mathbb{Q}$作为特征0的域完全满足这个规则。

接下来看相似类的问题：

首先得明确$x^{7-1$在$\mathbb{Q}$上的不可约分解：$x}7-1=(x-1)\Phi_7(x)$，其中$\Phi_7(x)=x^6+x5+x^4+x3+x^2+x+1$是7次分圆多项式，它在$\mathbb{Q}$上是不可约的（可以通过把$x$换成$y+1$，用Eisenstein判别法验证）。

现在$A$是$\mathbb{Q}$上的4阶矩阵，根据Cayley-Hamilton定理，$A$的特征多项式是4次的，而极小多项式$m_A(x)$必须整除特征多项式，所以$m_A(x)$的次数最多是4。但$\Phi_7(x)$是6次的不可约多项式，次数已经超过了4，根本不可能成为$m_A(x)$的因子——不然$m_A(x)$的次数至少是6，和4阶矩阵的限制矛盾。

另外，$x^{7-1$是可分多项式（特征0的域上，多项式和它的导数$7x}6$互素，所以没有重根），这意味着$(x-1)^{k$（$k≥2$）并不整除$x}7-1$：把$x=1$代入$\Phi_7(x)$得到的是7≠0，说明$x=1$只是$x^7-1$的单根，不是重根。

这么一来，$m_A(x)$就只能是$x-1$了，这直接意味着$A-I=0$，也就是$A=I$。换句话说，所有满足$A^7=I$的4阶$\mathbb{Q}$矩阵其实都是单位矩阵，自然也就只有一个相似类。

你最后的疑问“是不是极小多项式只能有1作为根，且只有1？”完全正确——其他可能的根是7次非1单位根，对应的极小多项式因子是6次的$\Phi_7(x)$，根本没法适配4阶矩阵的尺寸，所以极小多项式只能是$x-1$，仅以1为单根。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Isochron