含绝对值与乘积条件的代数式$x^2+y^2$求值问题咨询

嘿，我来帮你搞定这个问题！你已经做的那几步推导完全没问题：把$|x-2|=y$转化为$(x-2)^2=y2$，再展开得到$x^2-4x+4=y2$，这是非常关键的起点。接下来我们只要结合已知的$xy=1$，再加上一些隐含条件分析，就能算出$x^2+y2$的值啦。

首先先明确两个隐含条件：

• 因为$y=|x-2|$，所以$y$肯定是非负数；
• 又因为$xy=1>0$，所以$x$和$y$同号，那$x$也一定是正数。

接下来我们分两种情况讨论（绝对值问题通常都要分情况去掉绝对值符号）：

情况1：$x \geq 2$ #

这时候$|x-2|=x-2$，所以原式$|x-2|=y$就变成$x-2=y$。结合$xy=1$，把$y=x-2$代入得：
$$x(x-2)=1$$
整理成标准二次方程：
$$x^2-2x-1=0$$
解这个方程，用求根公式可得$x=1+\sqrt{2}$（另一个根$1-\sqrt{2}$是负数，不符合$x\geq2$的条件，直接舍去）。

现在算$x^2+y2$，我们可以用你之前推导的式子变形：从$x^2-4x+4=y2$移项得到$x^2+y2=2x^{2-4x+4$，而从$x}2-2x-1=0$能得到$x^2-2x=1$，代入上式：
$$x^2+y2=2(x^2-2x)+4=2\times1+4=6$$

情况2：$0 < x < 2$ #

这时候$|x-2|=2-x$，原式变成$2-x=y$。同样结合$xy=1$，代入得：
$$x(2-x)=1$$
整理后是：
$$x^2-2x+1=0$$
也就是$(x-1)^2=0$，解得$x=1$，对应的$y=2-1=1$，验证一下$xy=1\times1=1$，完全符合条件。

这时候$x^2+y2=1²⁺¹2=2$。

所以最终$x^2+y2$的可能值是2或者6。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ducarita