关于V=L下正则集定理及α-递归论相关问题的技术问询

首先先明确正则（可容）集的定义：

Let $\alpha$ be an admissible ordinal and suppose $X \subset L_{\alpha}$. Then $X$ is regular (or amenable) if for every $x \in L_{\alpha}$ we have $X \cap x \in L_{\alpha}$.

在α-递归论的框架里，Sacks已经得出了一个关键结论：每个非正则的α-递归可枚举集都与某个正则α-递归可枚举集具有相同的α-度；所以只要α是可容序数，我们其实不用太纠结非正则的递归可枚举集。

正则集在高阶递归论里的地位很重要：我们本来期望$L_{\alpha}$的每个子集（或者说α的每个子集，因为α是可容的，二者等价）都能被当作谕示来使用，但如果$X \subset L_{\alpha}$不是正则集，这个期望就落空了。

我之前多次看到过这样的说法：如果$V=L$，那么α的每个子集都是正则集（不过得满足α的某些条件，我还不清楚具体是什么条件）；这一点特别关键，因为这样一来$L_{\alpha}$就能成为可计算性理论的合适论域了。

我的疑问： #

• (1) 如果$X \subset L_{\alpha}$不是正则集，具体会引发哪些问题？我大概能猜到递归可枚举度的理论会出现不符合预期的表现，但从来没见过具体的论证过程来说明这一点。
• (2) 哪里能找到上面提到的“V=L蕴含α的所有子集都是正则集（在α满足特定条件下；顺带问下这些条件到底是什么？）”的证明？我翻了Sacks和Barwise的书，但都没找到——我觉得可能是自己没找对具体的命题表述。

非常感谢任何相关的建议！

PS: 关于V=L和子集正则性的关联，Chong的《Techniques of admissible recursion theory》第9页有过提及：“Assuming $V=L$, every subset of an infinite cardinal $\kappa$ is $\kappa$-regular.”

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MacRance