关于Rudin《实分析与复分析》共形映射题变体第三部分的证明求助

嘿，我最近在啃Rudin《实分析与复分析》里的一道共形映射相关的变体题，现在卡在第三部分了，先把问题背景和我已经搞定的部分理清楚，求各位大佬给点思路！

问题完整陈述 #

假设$\Omega$是有界区域，$a \in \Omega$，$f$是$\Omega$上的解析函数，满足：

• $f(\Omega) \subset \Omega$
• $f(a) = a$

定义迭代函数：$f_1 := f$，$f_n := f \circ f_{n-1}$（也就是$f$的$n$次迭代）。问题分为三个部分：

1. 计算$f_n'(a)$并证明$|f'(a)| \leq 1$。
2. 若$f'(a) = 1$，证明对所有$z \in \Omega$有$f(z) = z$。
3. 若$|f'(a)| = 1$，证明$f$是单射（one-to-one）且$f(\Omega) = \Omega$。

我已经完成的部分 #

前两部分我已经证明出来了，核心都用到了一个结论：对于任意$m \geq 0$，集合$\mathcal{F}_m = \big{f_n^{(m)}: n\geq 1\big}$（也就是所有$n$次迭代函数的$m$阶导数构成的集合）是局部有界的，因此是正规族。

另外从第一部分的结果，我们能推出$|f_n'(a)| = |f'(a)|^n = 1$，但到这里我就卡壳了，不知道怎么用这些条件去推第三部分的结论——证明$f$是单射且满射（即$f(\Omega)=\Omega$）。

有没有大佬能给点方向或者关键的提示呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TheSenate