求解矩阵方程中的未知矩阵X

没问题，咱们一步步拆解这个矩阵方程，先明确关键前提：要解出唯一的X，必须假设矩阵A和B都是可逆的，不然方程要么无解，要么存在无穷多解。

原方程如下：
(B(X⁻¹ − I)A)^T + B = A^T

接下来按步骤化简：

• 第一步：移项消去左侧的B
  把等式左边的B移到右边，得到：
  (B(X⁻¹ − I)A)^T = A^T - B

• 第二步：展开转置项
  利用矩阵转置的核心性质：(ABC)^T = C^T B^T A^T（乘积的转置等于转置的逆序乘积），把左侧的转置展开：
  A^T (X⁻¹ − I)^T B^T = A^T - B

• 第三步：消去可逆矩阵，简化等式
  因为A、B可逆，所以它们的转置A^T、BT也可逆。我们给等式两边左乘(A^{T)⁻¹**，**右乘(B}T)⁻¹，这样就能消掉左侧的A^T和BT，得到：
  (X⁻¹ − I)^T = (A^T)⁻¹ (A^T - B) (B^T)⁻¹

• 第四步：两侧取转置，还原(X⁻¹ − I)
  等式两边同时取转置（转置的转置等于原矩阵），然后利用转置的性质化简右侧：

  • [(A^T)⁻¹]^T = A⁻¹（依据：(M⁻¹)^T = (M^T)⁻¹，这里M=A^T，转置后为A，逆就是A⁻¹）
  • (A^T - B)^T = A - B^T（依据：转置的差等于差的转置）
  • [(B^T)⁻¹]^T = B⁻¹（和A的推导逻辑一致）
    代入后右侧化简为B⁻¹ (A - B^T) A⁻¹，方程变为：
    X⁻¹ − I = B⁻¹ (A - B^T) A⁻¹
    把I移到右边，得到：
    X⁻¹ = I + B⁻¹ (A - B^T) A⁻¹

• 第五步：合并项并求逆得到X
  把右边的I转换成B⁻¹ B A⁻¹（因为B⁻¹ B = I，I A⁻¹ = A⁻¹），这样就能合并成一个乘积式：
  X⁻¹ = B⁻¹ [ B + A - B^T ] A⁻¹
  最后给等式两边同时取逆，利用逆的乘积性质(ABC)⁻¹ = C⁻¹ B⁻¹ A⁻¹，最终得到X的表达式：
  X = A (A + B - B^T)⁻¹ B

需要注意的是，这个解成立的额外条件是A + B - B^T必须是可逆矩阵，否则X不存在。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tshire Lesito