关于Munkres习题20.3度量函数连续性证明逻辑的疑问

嘿，我来帮你把这个逻辑掰明白！你困惑的点其实是拓扑里开集定义的核心应用，咱们一步一步来理：

首先先回忆两个关键定义：

• 映射连续的拓扑定义：一个映射$f: X \to Y$连续，当且仅当$Y$中任意开集的原像都是$X$中的开集。这里我们要证$d: X \times X \to \mathbb{R}$连续，所以只要证$\mathbb{R}$中任意开区间$(a,b)$的原像$U = d^{-1}((a,b))$是$X \times X$里的开集就行（因为$\mathbb{R}$的所有开集都是开区间的并，原像的并还是原像，所以搞定单个开区间的原像就够了）。
• 拓扑空间中开集的定义：一个集合是开集，当且仅当集合里的每一个点都有一个邻域（也就是包含该点的开集）完全落在这个集合里。

现在看证明里的操作：
咱们任取$U$里的一点$(x,y)$（也就是$d(x,y) \in (a,b)$），然后构造了$B_d(x, \epsilon) \times B_d(y, \epsilon)$这个$X \times X$里的开集（因为乘积拓扑里，开集的乘积是开集），只要选对$\epsilon$（比如取$\epsilon = \frac{1}{2}\min{d(x,y)-a, b-d(x,y)}$），就能保证这个邻域里的所有点$(x',y')$都满足$d(x',y') \in (a,b)$，也就是整个邻域都包含在$U$里。

那为什么这就证明了$U$是开集？
因为$U$里的每一个点都能找到这样的开邻域，把所有这些邻域全部并起来，得到的就是$U$本身——毕竟每个点都在自己的邻域里，而所有邻域又都在$U$里。而拓扑里规定，开集的任意并还是开集，所以$U$自然就是开集了。

你之前觉得是“只证明了U的一个子集开”，其实是误解了逻辑：我们不是只找了一个点的邻域，而是对U里的每一个点都能找到这样的邻域，这直接满足开集的定义，根本不需要“无限重构”，这就是拓扑定义的直接应用呀！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者DeathbyGreen