关于Uniform Convergence of Covering Maps（无法趋近常值映射）相关证明的两个疑问

嘿，我来帮你一步步拆解这两个问题，把证明里的逻辑理清楚：

1. 为什么子列必须收敛到常值映射？ #

首先回忆Montel定理：如果一个全纯函数族在某个区域内避开至少两个不同的复数值，那这个族是正规族——也就是说，任意函数序列都存在局部一致收敛的子列（在球面度量下收敛，允许极限是常数∞）。

回到你的问题：

• 我们假设存在子列的球面直径不趋近于0，也就是说存在某个δ>0，这个子列对应的球$B(z_n, r)$的球面直径始终≥δ。
• 每个$p_n: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{C} \setminus {0,1}$都是全纯映射，且避开了0和1这两个点，所以${p_n}$是正规族，必然存在局部一致收敛的子列，设其极限为$f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{C} \cup {\infty}$。
• 已知$p_n(0)=z_n$，而$z_n$趋近于$\mathbb{C} \setminus {0,1}$的边界点（也就是0、1或∞），所以$f(0)=\lim z_n$，这个极限是边界点（比如0）。

现在假设$f$不是常值函数：

• 那$f$是一个非平凡的全纯函数，且$f(0)$是0、1或∞中的一个，但$\mathbb{C} \setminus {0,1}$不包含这些点。根据Hurwitz定理，非零全纯函数序列的极限如果不是零函数，极限函数在紧集上的零点只能是序列中函数零点的极限；但这里所有$p_n$都不取0、1或∞，如果$f$非平凡且$f(0)=0$，那$f$在0点有零点，这意味着存在序列$w_k \rightarrow 0$使得$p_{n_k}(w_k) \rightarrow 0$，但$p_{n_k}(w_k)$始终属于$\mathbb{C} \setminus {0,1}$，不可能趋近于0，矛盾。

因此$f$只能是常值函数，等于$\lim z_n$。

2. 为什么覆盖映射的子列不能局部一致收敛到常值映射？ #

核心原因是覆盖映射的满射性和局部同胚性质：

• 首先，覆盖映射$p_n: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{C} \setminus {0,1}$是满射的——它的像必须是整个$\mathbb{C} \setminus {0,1}$，而不是某个子集。
• 如果存在子列$p_{n_k}$局部一致收敛到常值函数$c$（$c$是0、1或∞中的一个），那么对于任意小的$\varepsilon>0$，当$k$足够大时，$p_{n_k}(\mathbb{D})$会完全包含在$c$的$\varepsilon$-球面邻域内。
• 但$\mathbb{C} \setminus {0,1}$中存在无数个点远离$c$（比如如果$c=0$，那点2就属于$\mathbb{C} \setminus {0,1}$且远离0），而覆盖映射是满射，每个$p_{n_k}$都必须能取到这些远离$c$的点，这就和“$p_{n_k}(\mathbb{D})$都在$c$的小邻域内”矛盾。

换个角度用局部同胚看：
覆盖映射是局部同胚，意味着每个$p_n$的导数$p_n'(z)$在$\mathbb{D}$上处处不为0（全纯局部同胚的导数非零）。如果$p_n$局部一致收敛到常数，那$p_n'(z)$会局部一致收敛到0（常数函数的导数是0），但这和满射性的矛盾比起来更次要——满射的映射不可能收敛到只取一个值的常数函数，这是最直接的矛盾点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者OllyT777