关于无穷级数$\frac{2^1}{1}+\frac{2^2}{1\cdot3}+\frac{2^3}{1\cdot3\cdot5}+\cdots$的精确求值问询

嘿，我来试着帮你解决这个无穷级数的求值问题！首先先明确一下我们要计算的级数：

$$S = \frac{2^{1}{1}+\frac{2}2}{1\cdot3}+\frac{2^{3}{1\cdot3\cdot5}+\frac{2}4}{1\cdot3\cdot5\cdot7}+\cdots$$

你提到它的近似值在4.05左右，这个观察完全正确～你尝试把项转化为差分乘积的思路挺巧妙的，但可能这条路径不太容易找到抵消的规律，不如换个方向，用微分方程的方法来试试？

首先，先拆解每一项的结构：第n项（n从1开始）的分母是前n个奇数的乘积，也就是$1\cdot3\cdot5\cdot\cdots\cdot(2n-1)$，这个乘积可以用双阶乘表示为$(2n-1)!!$，也可以用阶乘改写：

$$1\cdot3\cdot5\cdot\cdots\cdot(2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$$

不过我们先构造一个辅助函数，把级数里的2换成变量x，定义：

$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{(2n-1)!!}$$

我们要求的S其实就是$f(2)$，现在来求这个f(x)的表达式。先对f(x)求导：

$$f'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n x^{n-1}}{(2n-1)!!}$$

这里有个关键的恒等式可以用：$\frac{n}{(2n-1)!!} = \frac{1}{2(2n-3)!!} + \frac{1}{2(2n-1)!!}$，你可以自己验证一下右边通分后确实等于左边～

把这个恒等式代入导数里，拆分求和：

$$f'(x) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(2n-3)!!} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(2n-1)!!}$$

调整第一个求和的下标，令k = n-1，当n=1时，k=0，而$(-1)!!$定义为1，所以第一个求和就变成：

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{(2k-1)!!} = 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{(2k-1)!!} = 1 + f(x)$$

第二个求和则可以写成$\frac{1}{x}f(x)$（x≠0的时候），所以现在导数就变成了：

$$f'(x) = \frac{1}{2}(1 + f(x)) + \frac{1}{2x}f(x)$$

整理一下这是个一阶线性微分方程：

$$f'(x) - \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{x}\right)f(x) = \frac{1}{2}$$

接下来用积分因子法求解，积分因子$\mu(x)$是：

$$\mu(x) = e^{-\frac{1}{2}\int (1+\frac{1}{x})dx} = \frac{1}{\sqrt{x}} e^{-\frac{x}{2}}$$

把微分方程两边都乘以$\mu(x)$，左边就变成了乘积的导数：

$$\frac{d}{dx} \left( \mu(x) f(x) \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} e^{-\frac{x}{2}}$$

现在对两边积分，右边的积分可以换元：令$u = \sqrt{\frac{x}{2}}$，则$x=2u^2$，$dx=4u du$，代入后积分就变成了：

$$\int \frac{e^{-u2}}{u} \cdot 4u du = 4\int e^{-u2}du = 2\sqrt{\pi} \text{erf}(u)$$

这里$\text{erf}(u)$是误差函数，定义为$\text{erf}(u) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^u e^{-t2}dt$。

现在把积分结果代回去，再结合初始条件$f(0)=0$（当x=0时级数和为0），可以确定积分常数$C=0$，最终得到：

$$f(x) = \sqrt{x} e^{\frac{x}{2}} \sqrt{\pi} \text{erf}\left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right)$$

现在代入$x=2$，就得到我们要的级数和：

$$S = f(2) = \sqrt{2} e \cdot \sqrt{\pi} \cdot \text{erf}(1) = e\sqrt{2\pi} \text{erf}(1)$$

计算数值验证：$\text{erf}(1)≈0.8427$，$e≈2.7183$，$\sqrt{2\pi}≈2.5066$，三者相乘大约是$2.7183\times2.5066\times0.8427≈4.05$，和你观察到的近似值完全一致！

如果不想用误差函数，也可以把它写成积分形式：

$$S = 2\sqrt{2} e \int_0^1 e^{-t2}dt$$

不过误差函数的形式更简洁标准。

回到你之前尝试的差分乘积思路，虽然直接展开没看到抵消，但说不定可以用更巧妙的望远镜求和变形，不过相比之下微分方程的方法更直接有效。

希望这个解法对你有帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者LithiumPoisoning