求给定常微分方程（ODE）系统的守恒量

你已经走在正确的方向上啦！你找到的那个积分结果其实就是这个ODE系统的守恒量，我来帮你梳理完整的推导步骤，确认它的有效性：

首先，你的ODE系统是：
$$
\begin{cases}
\frac{da}{dt}=2ab \
\frac{db}{dt}=b^2-a2+1-\frac{a}{\pi}
\end{cases}
$$

推导守恒量的步骤： #

1. 转化为恰当方程形式
   我们把系统转化为关于$a$和$b$的微分方程：
   $$\frac{da}{db}=\frac{2ab}{b^2-a2+1-\frac{a}{\pi}}$$
   整理为$M(a,b)da + N(a,b)db=0$的形式：
   $$\left(b^2-a2+1-\frac{a}{\pi}\right)da - 2ab\ db=0$$
   其中$M = b^2-a2+1-\frac{a}{\pi}$，$N=-2ab$。

2. 寻找积分因子
   计算偏导验证是否为恰当方程：$\frac{\partial M}{\partial b}=2b$，$\frac{\partial N}{\partial a}=-2b$，显然不相等，所以需要找积分因子。你找到的$\mu=\frac{1}{a^2}$是完全正确的，我们验证一下：
   乘以积分因子后，新的$M'=\frac{M}{a^2}=\frac{b2}{a^{2}-1+\frac{1}{a}2}-\frac{1}{\pi a}$，$N'=\frac{N}{a^2}=-\frac{2b}{a}$。
   此时$\frac{\partial M'}{\partial b}=\frac{2b}{a^2}$，$\frac{\partial N'}{\partial a}=\frac{2b}{a^2}$，方程变成恰当方程。

3. 求解原函数（守恒量）
   恰当方程的原函数$H(a,b)$满足$\frac{\partial H}{\partial a}=M'$，$\frac{\partial H}{\partial b}=N'$：

   • 先对$b$积分$N'$：$H = \int -\frac{2b}{a}db = -\frac{b^2}{a} + f(a)$
   • 对$a$求导并匹配$M'$：$\frac{\partial H}{\partial a}=\frac{b^2}{a2}+f'(a) = \frac{b^2}{a2}-1+\frac{1}{a^2}-\frac{1}{\pi a}$
   • 解得$f'(a)=-1+\frac{1}{a^2}-\frac{1}{\pi a}$，积分得$f(a)=-a-\frac{1}{a}-\frac{\ln a}{\pi}+C$（常数$C$不影响守恒性）

   因此，守恒量可以表示为：
   $$H(a,b)=\frac{b^2}{a}+a+\frac{1}{a}+\frac{\ln a}{\pi}$$

4. 验证守恒性
   我们计算$H$对时间$t$的导数，确认其为0：
   $$
   \begin{align*}
   \frac{dH}{dt}&=\left(-\frac{b^2}{a2}+1-\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\pi a}\right)\frac{da}{dt} + \left(\frac{2b}{a}\right)\frac{db}{dt} \
   &=\left(-\frac{b^2}{a2}+1-\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\pi a}\right)\times2ab + \frac{2b}{a}\times\left(b^2-a2+1-\frac{a}{\pi}\right) \
   &=2b\left(-\frac{b^2}{a}+a-\frac{1}{a}+\frac{1}{\pi}\right) + 2b\left(\frac{b^2}{a}-a+\frac{1}{a}-\frac{1}{\pi}\right) \
   &=0
   \end{align*}
   $$
   这说明$H(a,b)$的值在系统演化过程中保持不变，确实是守恒量。

你也可以把它整理成整式形式（两边乘以$a$，注意$a\neq0$，因为积分因子要求$a\neq0$，而$a=0$时系统的解会趋向无穷，不在我们讨论的轨道内）：
$$b^2+a2+1+\frac{a\ln a}{\pi}=Ca$$
其中$C$是常数，同样是有效的守恒量。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ri-Li