判断函数$f(z) = z + \sin \left(\displaystyle \sum_{n=1}^{2020} z^n \right)$的解析性求指导

嗨，我来给你捋捋这个问题的思路，其实不用纠结到柯西-黎曼方程那一步，咱们从解析函数的基本性质入手就能轻松解决：

• 先看里面的求和项$\sum_{n=1}^{2020} z^{n$：这是**有限项的复多项式**，而所有复多项式在整个复平面上都是**整函数**（也就是处处解析）——毕竟每一项$z}n$本身就在全平面解析，有限个解析函数的和自然也保持解析性。
• 再看$\sin\left(\sum_{n=1}^{2020} z^n\right)$：正弦函数$\sin(w)$本身就是整函数，而解析函数的复合依然是解析函数——只要内层函数在某个区域解析，外层函数在内层函数的值域区域解析，复合后的函数就保持解析性。这里内层是全平面解析的多项式，外层是全平面解析的正弦函数，所以这个复合函数也是全平面解析的。
• 最后看整个$f(z)$：它是$z$（同样是全平面解析的整函数）加上刚才的复合函数，两个整函数的和还是整函数。

所以结论很明确：$f(z)$在整个复平面上都是解析的。

另外补充下你提到的几何求和公式：你得到的$z \times \frac{1-z^{2020}}{1-z}$确实是原求和在$z \neq 1$时的等价表达式，但$z=1$时原求和直接等于2020，这个多项式在$z=1$处是有定义且解析的——分式形式只是简化计算的手段，不影响原多项式作为有限项和的解析性，不用因为这个分式在$z=1$处的形式而担心哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者geologist