关于服从$Ber(\frac{1}{\sqrt{n}})$的随机变量序列样本均值依概率收敛的方法咨询

嗨，我来帮你理清这个问题~

首先直接回答你的核心疑问：常规的弱大数定律（WLLN）这里不太适用，因为我们平时接触的WLLN大多是针对期望固定的独立同分布序列，结论是样本均值依概率收敛到那个固定的期望。但你的问题里，每个$X_i$的期望$\mu_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$是随n变化的，而且最终收敛到0，所以没法直接套用标准的WLLN结论。不过没关系，我们有更直接的方法来证明你要的结论：

方法1：用马尔可夫（Markov）不等式（最简洁） #

注意到$\bar{X}n = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n X_i$是非负的，所以$|\bar{X}_n| > \varepsilon$等价于$\bar{X}_n > \varepsilon$（样本均值不可能为负）。

根据马尔可夫不等式：对于非负随机变量Z，有$P(Z > a) \leq \frac{E[Z]}{a}$（其中$a>0$）。

这里我们取$Z = \bar{X}_n$，$a = \varepsilon$：

• 先计算期望：$E[\bar{X}n] = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n E[X_i] = \frac{1}{n} \times n \times \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$
• 代入不等式得：$P(\bar{X}_n > \varepsilon) \leq \frac{E[\bar{X}_n]}{\varepsilon} = \frac{1}{\varepsilon \sqrt{n}}$

当$n \to \infty$时，$\frac{1}{\varepsilon \sqrt{n}} \to 0$，所以$P(|\bar{X}_n| > \varepsilon) = P(\bar{X}_n > \varepsilon) \to 0$，直接得证。

方法2：用切比雪夫（Chebyshev）不等式（更通用的思路） #

如果想从方差的角度验证，也可以用切比雪夫不等式：对于任意$\delta>0$，$P(|Z - E[Z]| > \delta) \leq \frac{Var(Z)}{\delta^2}$。

步骤如下：

1. 计算样本均值的期望和方差：

   • $E[\bar{X}_n] = \frac{1}{\sqrt{n}}$（和上面一致）
   • $Var(X_i) = p_n(1-p_n) = \frac{1}{\sqrt{n}}(1 - \frac{1}{\sqrt{n}}) \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$（因为$1-p_n < 1$）
   • 所以$Var(\bar{X}_n) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}n Var(X_i) \leq \frac{1}{n^2} \times n \times \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{3/2}}$

2. 结合三角不等式拆分事件：
   我们要证$P(|\bar{X}_n| > \varepsilon) \to 0$，可以把$|\bar{X}_n|$拆成$|\bar{X}_n - E[\bar{X}_n] + E[\bar{X}_n]| \leq |\bar{X}_n - E[\bar{X}_n]| + |E[\bar{X}_n]|$。
   当$|\bar{X}_n| > \varepsilon$时，要么$|\bar{X}_n - E[\bar{X}_n]| > \frac{\varepsilon}{2}$，要么$|E[\bar{X}_n]| > \frac{\varepsilon}{2}$。

3. 分别处理两个事件：

   • 对于$|E[\bar{X}_n]| > \frac{\varepsilon}{2}$：因为$E[\bar{X}_n] = \frac{1}{\sqrt{n}}$，当n足够大时，$\frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{\varepsilon}{2}$，所以这个事件的概率为0。
   • 对于$|\bar{X}_n - E[\bar{X}_n]| > \frac{\varepsilon}{2}$：用切比雪夫不等式得$P(|\bar{X}_n - E[\bar{X}_n]| > \frac{\varepsilon}{2}) \leq \frac{Var(\bar{X}_n)}{(\varepsilon/2)^2} \leq \frac{4}{n^{{3/2}\varepsilon}2}$，当$n \to \infty$时这个值趋近于0。

综上，$P(|\bar{X}_n| > \varepsilon)$被一个趋近于0的量控制，所以最终收敛到0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kern711