关于复解析函数零点集维数为n-1的证明疑问
嗨，我来帮你理清这个证明里的关键逻辑，解决你的困惑~
首先得抓住复解析函数和实解析函数的本质区别——这正是你觉得细节缺失的核心点。先回到Chirka的证明步骤拆解：
为什么$Z_f\cap V$和$Z_g\cap V$是相等的？
你已经知道$g$是$f$的某个复偏导数（比如$\frac{\partial^k f}{\partial z_1^{k_1}\dots\partial z_n^{k_n}}$这类），且$g$在$Z_f\cap U$上恒为零，同时$dg(b)\neq0$说明$g$在$b$的邻域内不恒为零。
这里的关键是「通有点」的选择：通有点$a$是$Z_f$上局部维数最大的点，意味着$Z_f$在$a$附近不可能是更低维的子集。现在假设在$b$的邻域$V$里存在点$p\in Z_g\cap V$但$p\notin Z_f$，我们取过$p$且沿着$dg$非零的复方向（比如假设$\frac{\partial g}{\partial z_1}(b)\neq0$，就固定$z_2,\dots,z_n$为$p$的坐标，让$z_1$变化形成复直线$L$）。
在这条复直线$L$上，$f$是单变量复解析函数，$g$是它的某个导数。如果$f(p)\neq0$，那$f$在$p$的邻域$L\cap V$上的泰勒级数非零，其导数$g$的泰勒级数是逐项求导的结果——但$g(p)=0$只能说明$f$在$p$处的前$k-1$阶导数为零，可这和$g$在$Z_f\cap U$上恒为零的条件矛盾吗？不，真正的矛盾来自通有点的性质：$Z_f$在通点附近的维数不可能低于$n-1$，而如果$Z_f$是$Z_g$的真子集，那它的维数会小于$n-1$，这就违背了通有点的定义。
再结合复解析函数的局部性质：$Z_g$是$n-1$维光滑流形，$Z_f$是包含在其中的复解析子集，若$Z_f$不是整个$Z_g$，那它的维数必然小于$n-1$，这和我们要证明的结论（以及通有点的定义）冲突，因此在$b$的邻域内$Z_f\cap V = Z_g\cap V$，自然$Z_f$是$n-1$维光滑流形。
为什么实解析函数不行？
实解析函数没有复解析函数这么强的「刚性」：
- 比如实解析函数$f(x,y)=x2+y2$，零点集只有原点，维数为0，远小于$2-1=1$；
- 再比如$f(x,y)=y2-x3$，零点集是尖点曲线，虽然维数是1，但不是光滑流形。
而复解析函数的零点集如果不是整个定义域，那么它的每个不可约分支维数必为$n-1$，且通点处一定是光滑的——这是复解析函数的零点孤立性、Weierstrass预备定理等性质共同决定的，实解析函数没有这些强约束。
补充一个更直观的替代思路
用Weierstrass预备定理来看：在通点$a$处，我们可以做坐标变换，让$f$成为关于$z_n$的Weierstrass多项式：
$$f(z',z_n)=z_n^k + a_1(z')z_n^{k-1}+\dots+a_k(z')$$
其中$a_i(z')$在$a'=(a_1,\dots,a_{n-1})$处为零，且$k\geq1$（因为$f$不恒为零）。此时$f$的零点集在$a$附近就是满足这个多项式的点集，当$\frac{\partial f}{\partial z_n}\neq0$时（即非重根点，也就是通点），根据隐函数定理，零点集是光滑的$n-1$维流形；重根点构成的奇点集维数是$n-2$，不影响整个零点集的维数。Chirka证明里选的$g$其实就是这类非零的偏导数，刚好对应非重根的通点情况。
这样应该就能把你之前的困惑都理顺啦~
备注：内容来源于stack exchange，提问作者user293794
