关于函数1/[Γ(z)]ⁿ在零点处泰勒展开式的技术问询
当然可以！基于你提到的那篇关于倒数伽马函数泰勒系数非递归闭式的文章，完全可以推导出$f(z)=\frac{1}{[\Gamma(z)]^n}$在零点处的泰勒展开式，下面我给你梳理一下具体思路和方法：
利用倒数伽马函数的已知泰勒展开
首先，我们已经知道$\frac{1}{\Gamma(z)}$在零点附近的泰勒展开式为$\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$，其中$a_k$就是那篇文章里给出的非递归闭式系数。既然$f(z)$是这个级数的n次幂，我们可以通过级数的柯西乘积来计算它的泰勒系数。柯西乘积推导系数
假设$f(z)=\sum_{k=0}^\infty c_k z^k$，那么系数$c_k$是n个$\frac{1}{\Gamma(z)}$级数的卷积结果：- 当n=2时，$c_k = \sum_{m=0}^k a_m a_{k-m}$，也就是两个级数系数的两两乘积之和，满足下标和为k；
- 当n=3时，$c_k = \sum_{m=0}^k \sum_{p=0}^{k-m} a_m a_p a_{k-m-p}$，是三个系数乘积的和，下标和为k；
- 对于一般的正整数n，$c_k$等于所有满足$i_1+i_2+\dots+i_n=k$的非负整数组合对应的$a_{i_1}a_{i_2}\dots a_{i_n}$的总和。
收敛性与适用范围
因为$\frac{1}{\Gamma(z)}$在z=0处是解析的（Γ(z)在z=0处有一阶极点，其倒数自然是解析点），所以它的泰勒级数在某个邻域内收敛。n次幂后的级数收敛半径至少不小于原级数的收敛半径，对于你提到的z>0的情况，只要z落在这个收敛邻域内，展开式就有效。另一种思路：对数伽马函数辅助推导
你也可以通过对数转换来推导：先取$f(z)$的对数，得到$\ln f(z) = -n \ln\Gamma(z)$，然后对其求各阶导数，再利用泰勒系数与导数的关系（$c_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$）来计算系数。不过这种方法相对繁琐，不如直接用级数乘积来得直接，尤其是当已经有$\frac{1}{\Gamma(z)}$的非递归系数时。低阶项验证
我们可以用Γ(z)在零点的洛朗展开来验证低阶系数：$\Gamma(z) = \frac{1}{z} - \gamma + O(z)$，所以$\frac{1}{\Gamma(z)} = z(1 + \gamma z + (\gamma^2 + \zeta(2))z^2 + O(z3))$，那么$[\frac{1}{\Gamma(z)}]n = z^n\left(1 + n\gamma z + \left(n\gamma^2 + \frac{n(n-1)}{2}\gamma^2 + n\zeta(2)\right)z^2 + O(z^3)\right)$，这个结果和柯西乘积计算出的低阶系数完全一致，能帮你确认推导的正确性。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ludwig
