单调递减正项级数与特定子序列构造级数收敛性等价性的证明思路求助

各位大佬好，最近在啃这个正项级数收敛性的等价问题，卡壳了，想请教下思路：

设$(\alpha_n){n\in \mathbb{N}}$是单调递减的正实数序列，$(n_k){k\in\mathbb{N}}$是自然数序列的一个子序列，满足存在实数$M$，使得对所有$k\in\mathbb{N}$，都有$n_{k+1} - n_{k} \leq M(n_k- n_{k-1})$。

需要证明：$\sum \alpha_n$收敛 $\iff$ $\sum (n_{k+1}-n_k)\alpha_{n_k}$收敛。

目前我已经搞定了一个方向的部分步骤：如果$\sum \alpha_n$收敛，那能推出$\sum \alpha_{n_k}$收敛，但接下来怎么往$\sum (n_{k+1}-n_k)\alpha_{n_k}$收敛推就卡住了。

另外我注意到一个求和的等式：对每个$k$，$\sum_{j=1}^{k} (n_{j+1} - n_{j}) = n_{k+1}-n_1$，感觉这个式子可能要用到阿贝尔求和公式，但试了好几次都没捋清楚怎么把它用在这个问题里。

有没有大佬能给点思路或者提示呀？万分感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者X4J