关于扩散模型逆扩散过程中等式推导的疑问
看起来你在推导过程中遇到的问题，根源是抄写公式时的一个小错误——你把正向过程中解$x_0$的分母写错了！我们一步步来梳理：
首先明确扩散模型的核心定义：
- $\beta_t \in (0,1)$，$\alpha_t = 1-\beta_t$
- $\overline{\alpha}t = \prod{i=1}^t \alpha_i$（规范写法，你原来的$\bar{\alpha_t}$对应这里的$\overline{\alpha}_t$）
- 正向过程的关键等式：$x_t = \sqrt{\overline{\alpha}_t} x_0 + \sqrt{1-\overline{\alpha}_t} \epsilon_t$，所以解$x_0$应该是：
$$x_0 = \frac{x_t - \sqrt{1-\overline{\alpha}_t}\epsilon_t}{\sqrt{\overline{\alpha}_t}}$$
而你写的原式中，第二项的$x_0$被写成了$\frac{1}{\sqrt{\alpha_t}}(x_t - \sqrt{1-\overline{\alpha}_t}\epsilon_t)$，这是错误的，正确的分母应该是$\sqrt{\overline{\alpha}_t}$，而不是$\sqrt{\alpha_t}$。我们用正确的公式重新推导：
正确的等式展开与化简
原博客中的等式应该是：
$$\tilde{u_t} = \frac{\sqrt{\alpha_t}(1-\overline{\alpha}_{t-1})}{1 - \overline{\alpha}t}x_t + \frac{\sqrt{\overline{\alpha}{t-1}}\beta_t}{1-\overline{\alpha}_t} \cdot \frac{1}{\sqrt{\overline{\alpha}_t}}(x_t - \sqrt{1-\overline{\alpha}_t}\epsilon_t)$$
现在我们合并$x_t$的系数：
- 第一项的$x_t$系数：$\frac{\sqrt{\alpha_t}(1-\overline{\alpha}_{t-1})}{1 - \overline{\alpha}_t}$
- 第二项的$x_t$系数：$\frac{\sqrt{\overline{\alpha}_{t-1}}\beta_t}{1-\overline{\alpha}_t} \cdot \frac{1}{\sqrt{\overline{\alpha}_t}}$
注意到$\overline{\alpha}t = \alpha_t \cdot \overline{\alpha}{t-1}$，所以$\sqrt{\overline{\alpha}t} = \sqrt{\alpha_t} \cdot \sqrt{\overline{\alpha}{t-1}}$，代入第二项系数：
$$\frac{\sqrt{\overline{\alpha}_{t-1}}\beta_t}{1-\overline{\alpha}t} \cdot \frac{1}{\sqrt{\alpha_t}\sqrt{\overline{\alpha}{t-1}}} = \frac{\beta_t}{(1-\overline{\alpha}_t)\sqrt{\alpha_t}}$$
现在把两项通分合并：
$$
\begin{align*}
\text{合并后的}x_t\text{系数} &= \frac{\sqrt{\alpha_t}(1-\overline{\alpha}_{t-1})}{1 - \overline{\alpha}_t} + \frac{\beta_t}{(1-\overline{\alpha}t)\sqrt{\alpha_t}} \
&= \frac{\alpha_t(1-\overline{\alpha}{t-1}) + \beta_t}{(1-\overline{\alpha}_t)\sqrt{\alpha_t}}
\end{align*}
$$
代入$\beta_t = 1-\alpha_t$，计算分子：
$$
\begin{align*}
\alpha_t(1-\overline{\alpha}{t-1}) + 1-\alpha_t &= \alpha_t - \alpha_t\overline{\alpha}{t-1} + 1 - \alpha_t \
&= 1 - \alpha_t\overline{\alpha}_{t-1} \
&= 1 - \overline{\alpha}_t \quad (\text{因为}\overline{\alpha}t = \alpha_t\overline{\alpha}{t-1})
\end{align*}
$$
所以$x_t$的系数化简为：
$$\frac{1 - \overline{\alpha}_t}{(1-\overline{\alpha}_t)\sqrt{\alpha_t}} = \frac{1}{\sqrt{\alpha_t}}$$
接下来看$\epsilon_t$的系数：
第二项中的$\epsilon_t$系数是：
$$- \frac{\sqrt{\overline{\alpha}_{t-1}}\beta_t}{1-\overline{\alpha}_t} \cdot \frac{\sqrt{1-\overline{\alpha}_t}}{\sqrt{\overline{\alpha}_t}} = - \frac{\beta_t}{\sqrt{\alpha_t}\sqrt{1-\overline{\alpha}_t}}$$
代入$\beta_t=1-\alpha_t$，就得到：
$$- \frac{1-\alpha_t}{\sqrt{\alpha_t}\sqrt{1-\overline{\alpha}_t}}$$
把$x_t$和$\epsilon_t$的系数合并，就得到了右边的等式：
$$\tilde{u_t} = \frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \left(x_t - \frac{1-\alpha_t}{\sqrt{1- \overline{\alpha}_t}}\epsilon_t\right)$$
这样整个推导就完全通顺了！你之前的问题就是把$x_0$的分母写错了，把$\sqrt{\overline{\alpha}_t}$写成了$\sqrt{\alpha_t}$，导致后续的系数计算出现矛盾。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者IntegrateThis
