使用Scipy计算离散函数卷积结果不符的问题排查

你的自定义卷积矩阵结果与scipy.signal.convolve2d结果不一致，核心原因有两点：

1. 核的定义逻辑不匹配 #

数学上的离散卷积是对坐标差的求和：
$$(u_0 * K)(x_i,y_i) = \sum_j u_0(x_j,y_j) \cdot K(x_i-x_j, y_i-y_j) \cdot dx dy$$
你的自定义矩阵H完全符合这个逻辑：H[i,j] = heat_kernel(x_i-x_j, y_i-y_j)*dx*dy，直接计算点对的坐标差对应的热核值。

但你传给convolve2d的kernel是heat_kernel(x_grid,y_grid,t)，它的取值是绝对坐标的热核值K(x,y)，而非坐标差的热核值K(x_i-x_j,y_i-y_j)。convolve2d用这个核计算的是u0与K(x,y)的卷积，而非u0与热核卷积的正确离散形式。

2. 核的支撑范围处理不同 #

热核是无限支撑的函数（理论上所有坐标差都有非零值），但：

• 自定义矩阵H会计算所有网格内点对的热核值，哪怕坐标差超出网格范围（比如x_i=0.5、x_j=-0.5，差为1，热核仍有非零贡献）；
• convolve2d默认使用boundary='fill'，会将核超出输入网格的部分视为0，相当于截断了热核的无限支撑，只保留网格内的核值参与计算。

这两种不同的支撑范围处理，直接导致了求和结果的数值差异。

如果想用convolve2d得到与自定义矩阵一致的结果，可以按以下方式调整：

1. 构造正确的核：由于热核是对称函数（K(-x,-y)=K(x,y)），卷积时核翻转不影响结果，但需要让核的取值对应坐标差。可以将核构造为以网格中心为原点的热核（你的kernel已经满足这一点）；
2. 扩展核的支撑范围：如果要近似无限支撑的热核，需要使用比输入网格更大的核，或者先扩展输入网格并填充0，再用mode='full'计算卷积后裁剪到原网格大小；
3. 对齐离散求和逻辑：确保convolve2d的求和范围与自定义矩阵一致，避免边界截断的影响。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Pierre21