关于带边光滑流形边界点与卡无关的证明中的矛盾点及微分映射疑惑

先理清楚背景和要证的结论 #

首先咱们明确几个基础定义：

• 带边欧氏半空间 $\mathbb{R}^n_- := {(x^1,\ldots,xn) \in \mathbb{R}^n: x^1 \leq 0}$，简单说就是所有第一个坐标非正的n维欧氏空间点的集合
• 它的边界 $\partial \mathbb{R}^n_- := {0} \times \mathbb{R}^{{n-1}$，也就是第一个坐标严格为0的点，形式是$(0,x}2,\ldots,x^n)$

对于带边光滑流形$M$，我们说点$p \in M$是边界点，是指存在一个卡（局部坐标映射）$(U,\varphi=(x^1,\ldots,xn))$，使得$\varphi(p)$的第一个坐标$x^{1(p)=0$。现在要证的是：*这个定义和你选哪个卡无关*——不管换哪个包含$p$的卡$(V,\psi=(y}1,\ldots,y^n))$，$y1(p)$一定也是0。

原反证法证明的梳理 #

证明用的是反证法，假设存在某个卡$(V,\psi)$使得$y^1(p) < 0$，然后推导矛盾：

1. 因为$\varphi$和$\psi^{-1}$都是微分同胚，所以复合映射$\varphi \circ \psi^{-1}$也是微分同胚，它的微分$D(\varphi \circ \psi^{-1})_{\psi(p)}$是线性同构（既是单射也是满射），所以肯定能找到一个向量$v \in \mathbb{R}^n$，让这个微分映射把$v$映射到$e_1=(1,0,\ldots,0)$。
2. 构造一条曲线$c(t) = \psi(p) + tv$，取足够小的$\epsilon>0$，当$t$在$(-\epsilon,\epsilon)$这个开区间里时，$c(t)$会落在$\psi(U \cap V)$里（因为曲线是从$\psi(p)$出发的小扰动，而$\psi(U \cap V)$是包含$\psi(p)$的开集）。
3. 再构造另一条曲线$\tilde{c}(t) = \varphi \circ \psi^{-1} \circ c(t)$，这条曲线的像肯定在$\varphi(U \cap V)$里，而且$\tilde{c}(0)=\varphi(p)$，也就是落在$\partial \mathbb{R}^{n_-$上（因为$x}1(p)=0$）。
4. 用链式法则算$\tilde{c}(t)$在$t=0$处的导数：$\tilde{c}'(0) = D(\varphi \circ \psi^{-1}){\psi(p)}(c'(0)) = D(\varphi \circ \psi^{-1}){\psi(p)}(v) = e_1$，也就是说这条曲线在$t=0$处的导数第一个分量是正的1。

解答你疑惑的两个关键点 #

1. 到底矛盾在哪？ #

你猜的完全对！这里确实有个没写出来的关键前提：带边流形的卡要求把流形上的开集映射到$\mathbb{R}^n_-$里面——也就是$\varphi(U) \subset \mathbb{R}^n_-$，$\psi(V) \subset \mathbb{R}^n_-$，那自然$\varphi(U \cap V)$也包含在$\mathbb{R}^n_-$里。

现在看$\tilde{c}(t)$：按照卡的定义，它的像必须全在$\varphi(U \cap V) \subset \mathbb{R}^{n_-$里，但$\tilde{c}'(0)$的第一个分量是正的，这意味着当$t>0$且足够小时，$\tilde{c}(t)$的第一个坐标会大于0（因为导数正，函数在$t=0$附近是单调递增的，而$\tilde{c}(0)$的第一个坐标是0），也就是$\tilde{c}(t)$跑到了$\mathbb{R}}n \setminus \mathbb{R}^{n_-$里，这就和它必须在$\mathbb{R}}n_-$里的要求矛盾了！

这就是反证法的核心：假设$y^{1(p)<0$会推出矛盾，所以这个假设不成立，只能是$y}1(p)=0$。

2. 微分映射为什么能映射到$e_1$？ #

你这里混淆了两个概念：原光滑映射的定义域和微分映射的定义域：

• $\varphi \circ \psi^{-1}$本身是从$\psi(U \cap V) \subset \mathbb{R}^n_-$到$\varphi(U \cap V) \subset \mathbb{R}^n_-$的光滑映射，但它的微分$D(\varphi \circ \psi^{{-1})_q$（这里$q=\psi(p)$）是定义在整个$\mathbb{R}}n$上的线性映射——因为光滑映射的微分是切空间之间的映射，而$\mathbb{R}^{n$中任何点的切空间都是整个$\mathbb{R}}n$（哪怕这个点在$\mathbb{R}^{n_-$里），所以微分映射是从$\mathbb{R}}n$到$\mathbb{R}^n$的线性同构，自然可以把某个$v \in \mathbb{R}^{n$映射到$e_1$，哪怕$e_1$不在$\mathbb{R}}n_-$里——微分是线性空间之间的映射，和原映射的定义域是不是半空间没关系。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ben123