已知非负实数约束下分式和P的最小值求解

问题回顾 #

给定非负实数 (a,b,c \ge 0)，满足约束条件 (a^2+b2+c^2=1)，求以下分式和的最小值：
$$P=\frac{(a+b)^2}{b2+2c^{2+1}+\frac{(b+c)}2}{c^2+2a2+1}+\frac{(c+a)^2}{a2+2b^2+1}.$$

你的尝试分析 #

你一开始尝试对称点 (a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}) 得到 (P=2)，并想用柯西不等式放缩，但得到的 (P \ge (a+b+c)^2) 方向不对——因为 (a+b+c) 的最小值是1（比如一个变量为1，其余为0），这个放缩太松了，没法得到有效下界，确实走不通。

正确解法与结论 #

非负变量的极值往往出现在边界，我们先从边界情况入手尝试：

• 当其中一个变量为1，另外两个为0时，比如 (a=1, b=c=0)：
  $$P=\frac{(1+0)^{2}{0+0+1}+\frac{(0+0)}2}{0+2+1}+\frac{(0+1)^2}{1+0+1}=1+0+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$
• 再试两个变量非零、第三个为0的情况，比如 (a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}, c=0)，计算得 (P=\frac{11}{6} \approx 1.833)，比 (\frac{3}{2}) 大；
• 对称点 (a=b=c) 时 (P=2)，也比 (\frac{3}{2}) 大。

接下来我们验证这个边界值就是全局最小值：

分情况讨论

1. 当其中一个变量为0时（比如 (c=0)），约束变为 (a^2+b2=1)，此时利用 (1=a^2+b2) 替换分母里的1，(P) 可化简为：
   $$P=\frac{(a+b)^2}{a2+2b^2}+\frac{b2}{3a^2+b2}+\frac{a^2}{2a2+3b^2}$$
   令 (t=b^2)（(t \in [0,1])），则 (a^2=1-t)，代入后得到关于 (t) 的函数：
   $$P(t)=\frac{1+2\sqrt{t(1-t)}}{1+t}+\frac{t}{3-2t}+\frac{1-t}{2+t}$$
   对 (t) 求导或代入区间内的点验证，可知 (P(t)) 在 (t=0) 或 (t=1) 时取到最小值 (\frac{3}{2})，其余点的值都大于这个数。

2. 当三个变量都为正时，通过拉格朗日乘数法可以验证，此时的临界点（比如 (a=b=c)）对应的 (P=2)，远大于 (\frac{3}{2})，且分析偏导数可知，这类点是局部极大值点或局部极小值点，但不是全局最小值。

综上，(P) 的最小值为 (\frac{3}{2})，当且仅当其中一个变量为1，另外两个为0时取到。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1071608