关于对偶空间的特征空间分解及$W^{1,1}$子空间相关概念的疑问

嘿，我来帮你一步步理清这些概念，其实都是复结构在对偶空间上诱导的操作，没那么复杂～

首先补个关键前提：你已经知道实向量空间$V$上的复结构$J$，那对偶空间$W=\operatorname{Hom}(V, \mathbb{R})$上也有个诱导的复结构$J^$，定义很直观：对任意$\varphi \in W$、$v \in V$，$J^(\varphi)(v) = \varphi(Jv)$。这个$J^*$就是把$W_\mathbb{C} = \operatorname{Hom}(V,\mathbb{C})$拆成$W^{1,0}$和$W{0,1}$的依据：

• $W^{1,0}$是$J*$对应特征值$i$的子空间，里面的元素$\varphi$满足$\varphi(Jv) = i\varphi(v)$；
• $W^{0,1}$是对应特征值$-i$的子空间，里面的$\psi$满足$\psi(Jv) = -i\psi(v)$；
• 而且$W^{{0,1}$正好是$W}{1,0}$的复共轭——比如$\varphi \in W^{{1,0}$，它的复共轭$\overline{\varphi}$就属于$W}{0,1}$，你可以自己代入定义验证一下，很简单。

接下来回答你的两个核心疑问：

1. $W^{1,1}$的元素是什么？ #

你猜的方向完全正确！$W^{1,1}$是由所有纯张量$\varphi \otimes \psi$（其中$\varphi \in W^{1,0}$，$\psi \in W^{0,1}$）生成的复子空间。也就是说，它的元素不只是单个纯张量，而是这些纯张量的复线性组合，比如$\sum c_{ij} \varphi_i \otimes \psi_j$，其中$c_{ij}$是复数，$\varphi_i$属于$W^{{1,0}$，$\psi_j$属于$W}{0,1}$。

2. 为什么$W^{{1,1}$是$\bigwedge}2 W_\mathbb{C}$的子空间？ #

这里其实是一种“自然等同”的说法，严格来说是$W^{1,0} \otimes W^{{0,1}$可以**单射嵌入**到$\bigwedge}2 W_\mathbb{C}$里，所以我们习惯把它和它的像等同起来，就说它是$\bigwedge^2 W_\mathbb{C}$的子空间了，理由是：

• $\bigwedge^2 W_\mathbb{C}$是反对称张量空间，里面的元素是$x \wedge y = x \otimes y - y \otimes x$这种形式；
• $W^{1,0}$和$W{0,1}$是$W_\mathbb{C}$的互补直和项，$W^{1,0} \otimes W^{{0,1}$里的元素和$W}{0,1} \otimes W^{1,0}$里的元素是线性无关的；
• 当我们把$W^{1,0} \otimes W^{0,1}$中的纯张量$\varphi \otimes \psi$映射到$\varphi \wedge \psi$时，这个映射是单射（不会把不同的元素映射到同一个反对称张量），所以我们可以把$W^{1,0} \otimes W^{{0,1}$看作$\bigwedge}2 W_\mathbb{C}$的子空间，也就是$W^{1,1}$。

最后再提一下$W_\mathbb{R}= W^{1,1} \cap \bigwedge^2W _\mathbb{R}$：$\bigwedge^2W \mathbb{R}$是实反对称张量空间，而$W\mathbb{R}$就是$W^{1,1}$中那些“实的”元素——也就是取复共轭后等于自身的元素。比如取$\varphi \in W^{1,0}$，那么$\overline{\varphi} \in W^{0,1}$，$\frac{1}{i}(\varphi \wedge \overline{\varphi})$就是这样的实元素，它既在$W^{1,1}$里，又属于实反对称张量空间。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Danlo