关于布朗运动首达时差值分布及首达时概率的反射原理计算问询

嘿，这个问题问得很到位，反射原理确实是计算这类首达时概率的绝佳工具，我来一步步给你拆解清楚：

首先，先明确基础设定：我们说的是标准布朗运动$B_t$，从0点出发，具备连续性、对称性和独立增量这些核心性质；$T_a$是它首次触及$a$的时间，$T_{-b}$是首次触及$-b$的时间（这里$a,b>0$）。另外，标准布朗运动是常返的——它几乎必然会到达任何非零实数，所以$P(T_a < \infty) = P(T_{-b} < \infty) = 1$，这意味着$P(T_a > T_{-b}) + P(T_{-b} > T_a) = 1$，我们只需要算出其中一个概率，就能得到另一个。

接下来我们用反射原理推导$P(T_a > T_{-b})$（也就是布朗运动先到$-b$的概率）：

1. 先聚焦互补事件：$\overline{E} = {T_{-b} > T_a}$，也就是布朗运动先到达$a$的事件。我们先算出$P(\overline{E})$，再用$P(T_a > T_{-b}) = 1 - P(\overline{E})$得到结果。

2. 反射原理的核心是对路径做“镜像翻转”，建立原路径和反射后路径的概率对应。对于$\overline{E}$中的每一条路径（先到$a$，且在这之前没碰过$-b$），我们把这条路径在首次到达$a$的时刻$T_a$之后的部分，关于$a$做镜像反射：

   • 当$t \leq T_a$时，反射后的路径$B_t^* = B_t$（和原路径完全一致）；
   • 当$t > T_a$时，$B_t^* = 2a - B_t$（把原路径在$a$上方的部分翻到下方，下方翻到上方）。

3. 利用反射原理的“镜像概率相等”特性，结合布朗运动的对称性，我们可以推导出经典结论：
   $$P(T_a < T_{-b}) = \frac{b}{a + b}$$

4. 那这样一来，我们要的概率就很容易得到了：
   $$P(T_a > T_{-b}) = 1 - \frac{b}{a + b} = \frac{a}{a + b}$$

为了让你更直观理解，举个例子：当$a = b$时，概率就是$\frac{1}{2}$，这完全符合布朗运动的对称性——先到$a$和先到$-a$的概率相等，非常合理。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Inhyeok Baek