关于模素数方程解计数与特定指数式等价性的验证及相关OEIS匹配现象的技术问询

大家好，我最近在跟着Edward Frenkel的视频学习朗兰兹纲领相关内容，里面提到了用模素数的方法计数方程$y^2+y=x3-x^2$的整数解，我跟着写了对应的Mathematica代码，运行结果和视频里的表格最后一列一致，这让我想尝试用同样的思路研究自己感兴趣的方程。

背景参考代码（对应$y^2+y=x3-x^2$的解计数） #

nn = 60;
Table[(Prime[n] - 
    Count[Flatten[
      Table[Table[
        Mod[y^2 + y - (x^3 - x^2), Prime[n]], {y, 1, Prime[n]}], {x, 1, 
       Prime[n]}]], 0]), {n, 1, nn}]

运行后得到的结果开头是{-2, -1, 1, -2, 1, 4,...}，和视频里的表格一致。

我研究的方程及核心疑问 #

我感兴趣的方程是：
$$\left(\left(2 y^{2+y\right)-\left(x}2+x+1\right)\right) \bmod p_n = 0$$
我写了类似的Mathematica代码来计数解的数量：

nn = 42;
Table[(-1)^((Prime[n]^2 - 1)/24) - (Prime[n] - 
    Count[Flatten[
      Table[Table[
        Mod[(y + 2 y^2) - (1 + x + x^2), Prime[n]], {y, 1, 
         Prime[n]}], {x, 1, Prime[n]}]], 0]), {n, 1, nn}]

之后我做了OEIS搜索，现在有个核心疑问：当$n>4$时，是否解的计数满足公式$a(p_n)=p_n-\text{#解的数量} = (-1)^{\frac{1}{24} \left((p_n){}^2-1\right)}$？

我计算了差值$(-1)^{\frac{1}{24} \left((p_n){}^2-1\right)}-(p_n-\text{#解的数量})$，前几项是：
$${(-1)^{1/8}, 1 + (-1)^{1/3}, 0, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...}$$
从第5项开始差值都是0，所以想确认这个等价性是否对所有$n>4$成立。

附加发现：方程符号修改后的匹配现象 #

如果把原方程中的减号改成加号，即：
$$\left(\left(2 y^{2+y\right)+\left(x}2+x+1\right)\right) \bmod p_n = 0$$
对应的Mathematica代码如下：

nn = 42;
Table[(-1)^((Prime[n]^2 - 1)/24) - (Prime[n] - 
    Count[Flatten[
      Table[Table[
        Mod[(y + 2 y^2) + (1 + x + x^2), Prime[n]], {y, 1, 
         Prime[n]}], {x, 1, Prime[n]}]], 0]), {n, 1, nn}]/2

运行结果和OEIS中的A100672序列匹配，该序列定义为“第n个素数二进制展开的次最低有效位”。

暂时不知道该给这个问题打什么标签，希望能得到大家的解答。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mats Granvik