求ℝ³中两个平面的反射矩阵及复合变换的性质

嘿，我来帮你一步步拆解这个问题~首先先明确我们要解决的核心任务：找到ℝ³中对应两个平面的反射矩阵S₁、S₂，再分析它们的复合变换T=S₁S₂的性质。

一、先补全问题细节 #

你给出的第二个平面V₂的方程漏写了等于0，修正后：

• V₁ = {$\vec{x} \in \mathbb{R}^3$ : $x_1 + x_2 - x_3 = 0$}
• V₂ = {$\vec{x} \in \mathbb{R}^3$ : $x_1 - x_2 + x_3 = 0$}

二、求反射矩阵S₁和S₂ #

求平面反射矩阵，用反射矩阵的直接公式会比你提到的旋转公式更简单：对于法向量为单位向量$\hat{n}$的平面，反射矩阵$R = I - 2\hat{n}\hat{n}^T$（其中I是3阶单位矩阵）。下面分别计算：

1. 计算S₁（对应平面V₁） #

• 第一步：找V₁的法向量：平面方程$x_1+x_2-x_3=0$的法向量为$\vec{n_1}=(1,1,-1)$
• 第二步：单位化法向量：$||\vec{n_1}||=\sqrt{1²⁺¹2+(-1)^2}=\sqrt{3}$，所以$\hat{n_1}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
• 第三步：计算$\hat{n_1}\hat{n_1}^T$：
  $$\hat{n_1}\hat{n_1}^T = \begin{pmatrix}
  \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \
  \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \
  -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}
  \end{pmatrix}$$
• 第四步：代入反射公式得S₁：
  $$S_1 = I - 2\hat{n_1}\hat{n_1}^T = \begin{pmatrix}
  \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \
  -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \
  \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3}
  \end{pmatrix}$$

2. 计算S₂（对应平面V₂） #

• 第一步：找V₂的法向量：平面方程$x_1-x_2+x_3=0$的法向量为$\vec{n_2}=(1,-1,1)$
• 第二步：单位化法向量：$||\vec{n_2}||=\sqrt{3}$，所以$\hat{n_2}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
• 第三步：计算$\hat{n_2}\hat{n_2}^T$：
  $$\hat{n_2}\hat{n_2}^T = \begin{pmatrix}
  \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \
  -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \
  \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}
  \end{pmatrix}$$
• 第四步：代入反射公式得S₂：
  $$S_2 = I - 2\hat{n_2}\hat{n_2}^T = \begin{pmatrix}
  \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} \
  \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \
  -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3}
  \end{pmatrix}$$

三、分析复合变换T=S₁S₂的性质 #

先澄清你提到的旋转公式的疑惑：反射变换和绕法轴的180°旋转是不同的变换——反射是关于平面的镜像，而180°旋转是绕平面法轴的转动，所以求反射矩阵用上面的专门公式更直接。接下来看T的性质：

1. 基本类型：T是旋转变换 #

在ℝ³中，两个不同平面的反射变换的复合一定是旋转变换，旋转轴是两个平面的交线，旋转角度是两个平面法向量夹角的2倍。

2. 确定旋转轴 #

求V₁和V₂的交线，解方程组：
$$\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 0 \
x_1 - x_2 + x_3 = 0
\end{cases}$$
两式相加得$2x_1=0 \Rightarrow x_1=0$，代入第一个方程得$x_2=x_3$，因此交线为${(0,t,t) \mid t \in \mathbb{R}}$，方向向量为$\vec{v}=(0,1,1)$，这就是T的旋转轴。

3. 计算旋转角度 #

设两个法向量$\vec{n_1}$和$\vec{n_2}$的夹角为θ，则旋转角度为2θ：

• 先算夹角余弦：$\cosθ = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} = \frac{11 + 1(-1) + (-1)*1}{3} = -\frac{1}{3}$
• 利用二倍角公式得旋转角度的余弦：$\cos2θ = 2\cos²θ - 1 = 2*\left(\frac{1}{9}\right) - 1 = -\frac{7}{9}$
• 对应的正弦值：$\sin2θ = 2\sinθ\cosθ = 2*\frac{2\sqrt{2}}{3}*(-\frac{1}{3}) = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$

4. 其他核心性质 #

• T是正交变换：因为反射变换都是正交变换，正交变换的复合仍为正交变换
• T的行列式为1：每个反射矩阵的行列式是-1，两个相乘得$(-1)*(-1)=1$，符合旋转变换的行列式特征
• T是无限阶变换：由于旋转角度$2θ=\arccos(-\frac{7}{9})$不是π的有理数倍，重复应用T任意有限次都无法回到恒等变换

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aley20