关于SO(3)空间正则铺砌与S³均匀采样的技术问询

我正在尝试将$\mathrm{SO}(3)$空间划分为若干子空间$(S_i)_{i\in{1, \cdots, n}}$，实现对$\mathrm{SO}(3)$的正则铺砌。

至少需要满足以下核心条件：

• $\bigcup_{i=1}^n S_i = \mathrm{SO}(3)$
• 对任意子空间$S_i$，存在阈值$m$和$M$（理想情况下二者尽可能接近，且可根据$n$调整），使得：
  $$\forall i, \max_{(R_a, R_b) \in S_i \times S_i} m < d(R_a, R_b) < M$$
  其中$d$用于计算两个姿态之间的角距离。

我目前的初步思路 #

我考虑过借助四元数，在$\mathbb{S}^3$上生成均匀分布的点（作为每个$S_i$的中心），比如利用正4-胞体（例如24胞体）来实现，但不确定这是不是最直接的方案……而且这种方法的局限性很强——只能从少数正多胞体的顶点数中选择$n$的取值，灵活性不足。

理想的附加性质（可独立实现） #

我还希望能满足以下部分或全部性质：

• 互斥性：对任意$i\neq j$，$S_i \cap S_j=\emptyset$
• 等距性：$m=M$
• 高效索引性：$S_i$可以被快速索引，即给定任意姿态$R\in \mathrm{SO}(3)$，能快速找到（理想情况下唯一的）$i$使得$R\in S_i$。我设想可以通过精心选择的球极投影来实现，让$S_i$的投影之间拥有简洁的边界
• 八面体群对称性：所选的$S_i$应具备关于八面体群的对称性（我用$\mathcal{O} \leqslant \mathrm{SO(3)}$表示由24个旋转组成的子群，这些旋转对应的旋转矩阵系数属于${-1,0,1}$）：
  $$\forall S_i, \forall \rho \in \mathcal{O},,\exists !, S_j : \forall R \in S_i,;(\rho \cdot R) \in S_j$$
• （可选）生成性：$\mathrm{SO(3)}$可以从$S_i$中选取$\frac{n}{24}$个连通子空间生成

提前感谢各位能给出任何指导我研究方向的建议！我读过一些关于$\mathrm{SO}(3)$图册的文章，但始终没找到构建$\mathrm{SO}(3)$正则铺砌的实用方法（或者可能我没意识到自己已经找到了合适的方案）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者tarta