关于两类交集约束下子集族最大规模的上界及相关结果问询

嘿，针对你提出的这个极值集合论问题，我可以给你梳理一下已知的研究方向、常用技巧，以及你特别关心的k=4的具体情况：

一、一般情况（任意偶数k，禁止两子集交集大小为k/2） #

这类问题属于极值集合论的经典研究范畴，核心是约束子集两两交集的特定大小。目前常用的研究技巧和已知思路包括：

• 线性代数方法：这是处理这类问题的核心工具之一。通常会构造子集的关联矩阵（行对应子集、列对应元素的0-1矩阵），通过分析矩阵的秩、内积空间的正交性或特征值性质，推导子集族规模的上界。比如利用关联矩阵的乘积矩阵（其元素对应子集交集大小）的半正定性，结合线性代数中的不等式得到非平凡上界。
• 双重计数法：通过对元素-子集关联、子集对交集等进行双向计数，结合柯西不等式、凸性不等式等工具，建立关于子集族规模的不等式，进而得到上界。
• 组合设计的关联与排除：将问题与组合设计（如Steiner系统、平衡不完全区组设计BIBD等）关联，利用已知设计的性质构造满足条件的子集族，或者通过设计的存在性条件排除不可能的规模，从而得到上界。
• EKR定理的变体思路：虽然Erdos-Ko-Rado定理主要针对“交集大小至少为t”的子集族，但它的核心技巧（如移位技巧）可以推广到“禁止特定交集大小”的场景，尤其是当n足够大时。

二、重点：k=4的特殊情况（禁止两子集交集大小为2） #

对于你实际关心的k=4的场景，也就是寻找[n]中两两交集不为2的4元子集族的最大规模，目前有更具体的结果和思路：
首先需要明确：常见的星型族（所有子集包含某个固定元素）是不满足条件的——比如两个包含固定元素x的子集{x,a,b,c}和{x,a,d,e}，它们的交集是{x,a}，大小为2，正好违反约束。

已知的合法子集族构造（下界参考） #

• Steiner系统S(2,4,n)：这是一类经典的组合设计，要求每个2元子集恰好被一个4元子集包含。这类设计中，任意两个4元子集的交集只能是0或1（如果交集为2，就意味着这个2元子集被两个不同的4元子集包含，违反设计定义），完全满足你的约束。当n满足设计存在条件时（比如n≡1或4 mod 12），这类子集族的规模为$\frac{n(n-1)}{6}$，是$\Omega(n²)$级别的。
• 共享三元组的子集族：所有子集都包含某个固定的3元子集，比如所有形如{T∪{x}}的4元子集（T是固定3元集，x∉T），规模为n-3。这类族中任意两个子集的交集都是T，大小为3，满足约束，但规模远小于Steiner系统。

非平凡上界 #

目前已知的非平凡上界是$O(n²)$，这与Steiner系统给出的下界匹配，意味着当n满足Steiner系统的存在条件时，这个上界是紧的。推导这个上界的核心方法是双重计数结合线性代数技巧：
通过计数元素的出现次数、子集对的交集大小总和，结合柯西不等式建立关于子集族规模m的不等式，最终得到m的上界为$O(n²)$。

另外，当n较小时（比如n≤10），已经有研究者通过枚举或小阶组合设计的分析得到了精确的最大规模结果，比如n=7时最大规模为7，n=8时为14等。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Stefan S