关于证明由有界序列与等比项构造的序列(yₙ)为柯西序列的疑问求助

问题背景 #

设 ( r \in \mathbb{R} ) 是满足 ( |r| < 1 ) 的固定实数，( (x_n) ) 是有界实数列。定义序列 ( (y_n) ) 为：
[ y_n := 1 + rx_1 + r^2x_2 + \cdots + r^nx_n \quad \forall n \in \mathbb{N} ]
需要按定义证明 ( (y_n) ) 是柯西序列。

我的尝试 #

我已经做了以下步骤：

对任意 ( \epsilon > 0 )，我们需要找到 ( H \in \mathbb{N} )，使得对所有 ( n,m \ge H )，有 ( |y_n - y_m| < \epsilon )。

不妨设 ( n \ge m )，令 ( n = m + k )，则：
$$
\begin{align}
|y_n - y_m|&=|r|^{{m+1}\left|\sum_{i=1}}kr^{i-1}x_{m+i}\right|\
&<\left|\sum_{i=1}^kr{i-1}x_{m+i}\right|\
&\le\sum_{i=1}^k|r{i-1}x_{m+i}|\
&=\sum_{i=1}^k|r|{i-1}|x_{m+i}|\
&\le M\sum_{i=1}^k|r|{i-1}\
&=M\frac{1-|r|^k}{1-|r|}\
\end{align}
$$
（这里 ( M ) 是序列 ( (x_n) ) 的界，即 ( |x_n| \le M ) 对所有 ( n \in \mathbb{N} ) 成立）

现在我卡在这一步了，有没有大佬能帮我继续推进下去？谢谢！

解答思路 #

别着急，你已经完成了最关键的几步，只差最后收尾啦！我们来接着你的推导继续：

首先要纠正一个小失误：你刚才第一步里不该去掉 ( |r|^{m+1} ) 这个因子，它可是让整个表达式能任意小的核心！因为 ( |r| < 1 )，当 ( m ) 足够大时，( |r|^{m+1} ) 会趋近于0，这正是我们需要的。

我们重新整理正确的推导流程：
因为 ( (x_n) ) 有界，所以存在 ( M > 0 )，使得 ( |x_n| \le M ) 对所有 ( n \in \mathbb{N} ) 成立。那么：
$$
\begin{align}
|y_n - y_m|&=|r|^{{m+1}\left|\sum_{i=1}}kr^{i-1}x_{m+i}\right|\
&\le |r|^{{m+1}\sum_{i=1}}k|r|^{i-1}|x_{m+i}|\
&\le |r|^{{m+1}M\sum_{i=1}}k|r|^{i-1}\
&= |r|^{m+1}M \cdot \frac{1 - |r|^k}{1 - |r|}\
&< |r|^{m+1} \cdot \frac{M}{1 - |r|}
\end{align}
$$
这里用到了 ( 1 - |r|^k < 1 )（因为 ( |r| < 1 )，( |r|^k > 0 )）。

接下来，因为 ( |r| < 1 )，序列 ( |r|^m ) 是收敛到0的，也就是说：对任意给定的 ( \epsilon > 0 )，我们总能找到一个正整数 ( H )，使得当 ( m \ge H ) 时，有 ( |r|^{m+1} < \frac{\epsilon(1 - |r|)}{M} )。

那么当 ( n \ge m \ge H ) 时，代入上面的不等式就有：
[ |y_n - y_m| < |r|^{m+1} \cdot \frac{M}{1 - |r|} < \frac{\epsilon(1 - |r|)}{M} \cdot \frac{M}{1 - |r|} = \epsilon ]

这样就完美满足柯西序列的定义了！

总结一下，你之前的问题就是不小心丢掉了关键的 ( |r|^{m+1} ) 因子，保留它之后，结合 ( |r| < 1 ) 的条件，就能轻松让整个表达式小于任意给定的 ( \epsilon ) 啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1055322