幂级数首项消去问题求解

嘿，我来帮你捋清楚这个疑惑～首先得说个关键点：你最后那个式子的n=0项其实不是零哦，咱们一步步拆解看：

先看你最初的级数：
$$\sum_{j=1}^{\infty} x^{j-1} \frac{z^j}{(j-1)!}$$
当j=1的时候，代入计算：$x^{0} \cdot \frac{z^1}{0!} = 1 \cdot \frac{z}{1} = z$，这就是原级数的第一项。

再看你替换变量后的级数，把$n = j-1$代入，j就等于$n+1$，当j从1开始时，n就从0开始，原级数就变成了：
$$\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} \frac{z^{n+1}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z(zx)^n}{n!}$$
当n=0时，代入计算：$\frac{z(zx)^0}{0!} = \frac{z \cdot 1}{1} = z$，这不就是原级数的第一项嘛，和j=1时的结果完全一致，根本不是零。

那你为啥会觉得n=0项是零呢？可能是误以为原级数从j=1开始，对应的n=0项“不存在”？其实不是的，变量替换只是把索引换了个名字，原级数的第一项（j=1）刚好对应新级数的n=0项，它是实实在在存在的，值就是z。

再验证一下左边的$ze^{zx}$，展开指数函数：
$$ze^{zx} = z\left(1 + zx + \frac{(zx)^2}{2!} + \frac{(zx)^3}{3!} + \dots\right) = z + z^2x + \frac{z^3x2}{2!} + \dots$$
这和两个级数的展开结果完全匹配，n=0项就是最开头的那个z，完全没问题～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Veak