关于利用递归定理构造满足指定条件的序列的方法问询

嘿，这个问题的核心其实是把题目里给定的集值映射S，转化成递归定理能直接用的单值函数——你之前想到用选择公理的方向完全是对的，可能只是没把中间的对应关系理清楚，咱们一步步来拆解：

首先，先回忆一下递归定理的核心要求：它需要我们有一个从“已构造的序列前缀”到下一个元素的函数，而不是集值的选择范围。那我们的目标就是用选择公理把S变成这样的函数。

具体步骤： #

1. 定义所有有限序列的集合：先设 Seq(X) = ∪_{k∈ℕ} X^k，这里的X^k代表所有由X中元素构成的k元组（也就是长度为k的序列前缀，比如(x₁)是长度1的前缀，(x₁,x₂)是长度2的前缀，以此类推）。
2. 用选择公理构造递归函数：因为对每一个k元组s=(x₁,…,xₖ)∈Seq(X)，S(x₁,…,xₖ)都是X的非空子集，根据选择公理，我们可以定义一个函数f: Seq(X) → X，使得对每个这样的前缀s，都有f(s) ∈ S(x₁,…,xₖ)——简单说就是给每个前缀“选一个”符合要求的下一个元素。
3. 应用递归定理生成序列：
   • 先选一个初始元素x₁∈X（因为X≠∅，所以肯定能选到）；
   • 然后对每个n∈ℕ，令x_{n+1}=f(x₁,…,xₙ)。根据递归定理，这个序列(xₙ)_{n∈ℕ}是完全良定义的，而且显然满足x_{n+1}∈S(x₁,…,xₙ)，因为f就是从对应的S子集里选的元素。

其实你之前的思路没毛病，只是需要把“所有有限前缀的集合”明确出来，再用选择公理把集值的S转化成单值的递归函数，这样递归定理就能直接发挥作用了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rfloc