关于每个非单位元阶均为2的群的相关问题咨询

先和大家聊聊我目前了解到的、满足“每个非单位元的阶都是2”的群的例子：

无限群例子 #

• 自然数集$\mathbb{N}$的幂集$P(\mathbb{N})$，搭配对称差运算，这是一个不可数群，其中每个非单位元的阶都是2。
• 可数个$\mathbb{Z}_2$的直积，这是一个可数无限群，同样满足每个非单位元阶为2的条件。

有限群例子（当阶数为2的幂时） #

如果群的阶数$n=2^k$（$k$是非负整数），有两个典型例子：

• 任意基数为$k$的集合$S$的幂集$P(S)$，搭配对称差运算，这个群的阶正好是$2^k=n$，且每个非单位元的阶都是2。
• $n$个$\mathbb{Z}_2$的直积，群的阶为$n=2^k$，也满足每个非单位元阶为2的要求。

现在我有两个疑问想请教大家：

1. 如果群的阶数$n$不是2的幂次，是否存在这样的$n$阶群——每个非单位元的阶都是2？
2. 能不能再给出一个满足该性质的可数无限群的例子？（或者确认一下我之前提到的可数个$\mathbb{Z}_2$的直积是不是这类群的典型代表？）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shash