使用Matlab mldivide求解Ax=B得NaN，多解场景为何返回错误结果？

问题原因 #

你的矩阵A是奇异矩阵（行向量线性相关，秩为2，小于矩阵维度3），虽然方程组Ax=B是相容的（存在无穷多解），但mldivide（即MATLAB中的\运算符）在处理这类条件数无穷大的奇异矩阵时，会因数值计算的稳定性问题返回全NaN结果。

具体来说，mldivide依赖LU分解等数值方法求解，当矩阵奇异时，消元过程会出现主元为0的情况；再加上A的条件数为无穷大，MATLAB无法稳定判定方程组的相容性并计算有效解，因此返回NaN。

解决方法 #

针对这类有无穷多解的线性方程组，可通过以下两种方式求解：

• 行最简形法求通解
  构造增广矩阵并转换为行最简形，直接得到解的结构：

  aug_matrix = [A, B];
  rref_aug = rref(aug_matrix);
  

  运行后得到的行最简形矩阵为：

  1   0   0   1
   0   1  -1  -1
   0   0   0   0
  

  由此可得通解：

  • ( x_1 = 1 )
  • ( x_2 = x_3 - 1 )（( x_3 )为自由变量，可取任意实数）
    取( x_3=1 )时，就得到你验证的解[1;0;1]。

• 伪逆法求最小范数解
  使用伪逆pinv(A)可得到方程组的最小范数解（无穷多解中向量范数最小的那个）：

  X = pinv(A) * B;
  

  运行结果为：

  X =
     1.0000
    -0.5000
     0.5000
  

  验证可知A*X的结果等于B，满足方程组要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者zajer