证明当所有i∈I满足基数κᵢ<λᵢ时，∑_{i∈I}κᵢ ≤ ∏_{i∈I}λᵢ

嘿，我看到你卡在这个基数不等式的证明上了，咱们一步步拆解来解决它～你已经找对了方向：通过构造两个对应集合之间的单射来证明基数的大小关系，这完全是正确的思路，毕竟基数的≤关系本来就是用“存在单射”来定义的对吧？

首先先明确一下我们要用到的两个核心集合的定义，你已经写出来了，我再梳理一遍：

• 求和对应的集合：$S = \bigcup_{i∈I} ({i} × κ_i)$，所以$|S| = \sum_{i∈I}κ_i$，这个集合里的元素都是形如$(i, x)$的有序对，其中$x$属于基数$κ_i$代表的集合。
• 乘积对应的集合：$P = \left{f:I→\bigcup_{i∈I}λ_i \mid ∀i∈I, f(i)∈λ_i\right}$，所以$|P| = \prod_{i∈I}λ_i$，这个集合里的元素是定义在$I$上的函数，每个函数在$i$处的取值都属于$λ_i$对应的集合。

接下来关键的一步就是构造从$S$到$P$的单射。首先利用题目给的条件：对每个$i∈I$，$κ_i < λ_i$。根据基数小于的定义，我们知道存在单射$φ_i: κ_i → λ_i$，并且$λ_i$中存在至少一个元素不在$φ_i(κ_i)$的像里——我们把这个元素记为$a_i$，也就是$a_i ∈ λ_i \setminus φ_i(κ_i)$，每个$i$都固定这样一个$a_i$。

现在我们来定义函数$F: S → P$：
对于$S$中的任意元素$(i, x)$（其中$x ∈ κ_i$），我们让$F(i,x)$是这样一个函数$f ∈ P$：

• 当$j = i$时，$f(j) = φ_i(x)$（也就是把$x$通过单射映射到$λ_i$里的元素）；
• 当$j ≠ i$时，$f(j) = a_j$（也就是我们之前固定的那个每个$λ_j$里不在$κ_j$像中的元素）。

接下来我们要证明这个$F$是单射：假设$F(i,x) = F(j,y)$，这意味着这两个函数在$I$的每一个元素上的取值都相等。

• 如果$i ≠ j$，那么看$F(i,x)$在$i$处的取值是$φ_i(x)$（属于$φ_i(κ_i)$），而$F(j,y)$在$i$处的取值是$a_i$（属于$λ_i \setminus φ_i(κ_i)$），这两个元素不可能相等，所以矛盾，因此必须$i = j$。
• 当$i = j$时，$F(i,x)$在$i$处的取值是$φ_i(x)$，$F(i,y)$在$i$处的取值是$φ_i(y)$，因为$φ_i$是单射，所以$φ_i(x) = φ_i(y)$就意味着$x = y$。

这样我们就证明了$F$是单射，根据基数≤的定义，$|S| ≤ |P|$，也就是$\sum_{i∈I}κ_i ≤ \prod_{i∈I}λ_i$。

补充个小例子帮你理解：比如$I = {1,2}$，$κ_1=1$，$λ_1=2$；$κ_2=2$，$λ_2=3$。我们固定$a_1 ∈ 2\setminus1 = {1}$，$a_2 ∈3\setminus2 = {2}$。那么$S$里的元素是$(1,0)$、$(2,0)$、$(2,1)$。对应的$F(1,0)$是函数$f_1: f_1(1)=0, f_1(2)=2$；$F(2,0)$是$f_2: f_2(1)=1, f_2(2)=0$；$F(2,1)$是$f_3: f_3(1)=1, f_3(2)=1$。这三个函数显然都是不同的，完美体现了单射的性质～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cento18