复数列收敛时1/(zₙ - z₀)极限不存在的证明合理性与严谨性优化问询

我最近碰到这么个问题：已知复数列${z_n}$的极限是$\lim_{n\to\infty}z_n = z_0$，需要证明极限
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{z_n - z_0} \tag{1}\label{eq:limit}
$$
不存在。

我自己梳理了一段推理过程，想请教下各位这个思路是不是正确的，还有怎么能让它更严谨：

根据收敛的定义，$\lim_{n\to\infty} z_n = z_0$意味着，对于任意给定的正实数$\varepsilon$，存在自然数$N(\varepsilon)$，当$n > N(\varepsilon)$时，都有$|z_n - z_0| < \varepsilon$。
由此可以推出，当$n > N(\varepsilon)$时，$\frac{1}{|z_n - z_0|} > \frac{1}{\varepsilon}$。
因为$\varepsilon$可以取任意小的正数，那么$\frac{1}{\varepsilon}$就能任意大，也就是说实数列$\frac{1}{|z_n - z_0|}$下有界但上无界，所以极限\eqref{eq:limit}不存在。

想问问大家，这个推理逻辑站得住脚吗？如果要让证明更严谨，我应该补充或者调整哪些地方呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Victor Souza