SDE解的一致平方期望有界性证明的思路验证与推进建议

首先要给你打个定心丸：你的整体思路完全正确！用Ito引理处理$|X(t)|^2$、取期望消去鞅项、结合系数的线性增长条件做估计，这是证明这类SDE解矩有界性的标准路子，完全没走偏。下面我帮你把卡住的步骤拆解开，一步步推进到Gronwall不等式的形式，最后补上处理上确界的关键一步：

第一步：整理期望不等式里的各项 #

你已经得到了：
$$E|X(t)|^2 \leq E|X(0)|^2 + \int_0^t E\left[2X(s)K(1+|X(s)|) +K^2(1+|X(s)|)2\right]ds$$
现在咱们把积分里的期望项拆开来逐个估计：

1. 处理第一项$E\left[2X(s)K(1+|X(s)|)\right]$
   利用不等式$xy \leq |x||y|$，可以把里面的乘积项放缩：
   $$2X(s)(1+|X(s)|) \leq 2|X(s)|(1+|X(s)|) = 2|X(s)| + 2|X(s)|^2$$
   取期望后得到：
   $$E\left[2X(s)K(1+|X(s)|)\right] \leq 2K\left(E|X(s)| + E|X(s)|^2\right)$$

2. 处理第二项$E\left[K^2(1+|X(s)|)2\right]$
   先展开平方：
   $$(1+|X(s)|)^2 = 1 + 2|X(s)| + |X(s)|^2$$
   取期望后直接代入：
   $$E\left[K^2(1+|X(s)|)2\right] = K^2\left(1 + 2E|X(s)| + E|X(s)|^2\right)$$

第二步：合并项并吸收线性项 #

把上面两个结果加起来，整理同类项：
$$
\begin{align*}
&2K\left(E|X(s)| + E|X(s)|^2\right) + K^2\left(1 + 2E|X(s)| + E|X(s)|^2\right) \
=& K^2 + (2K + 2K^2)E|X(s)| + (2K + K^2)E|X(s)|2
\end{align*}
$$
现在需要把$E|X(s)|$这个线性项转化为平方项加常数，这里用一个常用的不等式：对任意非负实数$a$，有$\sqrt{a} \leq \frac{1+a}{2}$（由$(\sqrt{a}-1)^2 \geq 0$推导而来），所以：
$$E|X(s)| = E\sqrt{|X(s)|^2} \leq \frac{1 + E|X(s)|^2}{2}$$
把这个代入上面的式子，替换$E|X(s)|$：
$$
\begin{align*}
&K^2 + (2K + 2K^2)\cdot\frac{1 + E|X(s)|^2}{2} + (2K + K^2)E|X(s)|2 \
=& K^2 + (K + K^2)(1 + E|X(s)|^2) + (2K + K^2)E|X(s)|2 \
=& (K^2 + K + K^2) + \left[(K + K^2) + (2K + K^{2)\right]E|X(s)|}2 \
=& K + 2K^2 + (3K + 2K^2)E|X(s)|2
\end{align*}
$$

第三步：应用Gronwall不等式 #

令$Y(t) = E|X(t)|^2$，代入原不等式后得到：
$$Y(t) \leq E|X(0)|^2 + \int_0^t \left[K + 2K^2 + (3K + 2K^2)Y(s)\right]ds$$
整理成Gronwall不等式的标准形式：
$$Y(t) \leq \left(E|X(0)|^2 + (K + 2K^2)t\right) + (3K + 2K^2)\int_0t Y(s)ds$$
根据Gronwall引理，我们可以直接得到：
$$Y(t) \leq \left(E|X(0)|^2 + (K + 2K^2)t\right)e{(3K + 2K^2)t}$$
这说明对任意$t \in [0,T]$，$E|X(t)|^{2$是有界的，界只依赖$T$、$K$和$E|X(0)|}2$。

第四步：处理上确界的期望 #

你要的是$E\left[\sup_{0≤t≤T}|X(t)|^{2\right]$的有界性，咱们还需要用Doob的L²不等式来过渡。首先把$X(t)}2$写成：
$$X(t)^2 = X(0)^2 + \int_0^t \left[2X(s)b(X(s)) + \sigma^2(X(s))\right]ds + M(t)$$
其中$M(t) = \int_0^t 2X(s)\sigma(X(s))dW(s)$是一个鞅。对上确界取绝对值后放缩：
$$\sup_{0≤t≤T}|X(t)|^2 \leq |X(0)|^2 + \sup_{0≤t≤T}\left|\int_0^t \left[2X(s)b(X(s)) + \sigma^2(X(s))\right]ds\right| + \sup_{0≤t≤T}|M(t)|$$
现在逐项取期望：

• 第一项$E|X(0)|^2$已知有限；
• 第二项的期望可以用积分的绝对值≤绝对值的积分，再结合之前对$E|X(s)|^2$的有界性，容易证明这部分积分的期望是有界的；
• 第三项用Doob不等式：$E\left[\sup_{0≤t≤T}|M(t)|\right] \leq 4E|M(T)|^{2$，而$E|M(T)|}2 = E\left[\int_0^T 4X(s)^2\sigma2(X(s))ds\right]$，结合$\sigma$的线性增长条件和$E|X(s)|^2$的有界性，这部分也是有限的。

把这三部分的界加起来，就得到了只依赖$T$的常数$C_2(T)$，满足$E\left[\sup_{0≤t≤T}|X(t)|^2\right] < C_2(T)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者chris7347