关于两组互素整数对对应同余方程组解的唯一性求证问询

大家好，我最近在研究整数格点相关的问题时遇到了一个困惑，想请各位帮忙解惑：

假设我们有两对互素的整数：$m,n$ 互素，$k,l$ 也互素。定义 $q=ml-nk$，并且我们假设 $q>0$。（背景补充：我原本的问题是考虑 $\mathbb{Z}^2$ 中的三个格点，其中一个是 $(0,0)$，另外两个都能从 $(0,0)$ 看到（即与原点互素）且三点不共线，所以 $q\neq0$，而通过调换两个点的标记我们可以保证 $q>0$。）

经过一些尝试后，我坚信存在唯一的整数 $p\in{1,...,q}$，使得下面的同余方程组成立：
$$
pn+l\equiv0\pmod{q}\quad \land\quad pm+k\equiv0\pmod{q}
$$

但我始终找不到能证实这个结论的论证，更别说简洁优雅的证明了。如果有人能提供证明思路、具体证明或者反例，我都会非常感激！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jglaalgb