整数集上对称随机游走的两个停时判定及证明方法问询

嗨，我来帮你一步步拆解这两个停时的判定问题，结合停时的核心定义（对所有$n\geq0$，${\tau\leq n} \in \mathcal{F}_n$，其中$\mathcal{F}_n$是由$X_0,X_1,...,X_n$生成的σ-代数）来分析：

一、$\tau_1$是停时的证明 #

先回顾$\tau_1$的定义：$\tau_1=\inf {n \in \mathbb{N}0 : n\geq 11, , X_n\cdot X{n-10}\leq 5}$，也就是满足“$n\geq11$且$X_n \cdot X_{n-10}\leq5$”的最小自然数$n$（如果不存在这样的$n$，则$\tau_1=\infty$）。

我们分情况验证${\tau_1\leq n} \in \mathcal{F}_n$：

• 当$n < 11$时：${\tau_1\leq n}$是空集，因为$\tau_1$的取值至少是11，空集属于任意σ-代数，自然满足$\in \mathcal{F}_n$。
• 当$n \geq11$时：${\tau_1\leq n}$等价于**“在$11\leq k\leq n$中至少存在一个$k$，使得$X_k \cdot X_{k-10}\leq5$”**（因为inf是满足条件的最小$n$，inf≤n当且仅当集合里有元素≤n）。
  对于每个$k\in[11,n]$，$X_k$和$X_{k-10}$都是$\mathcal{F}_n$可测的随机变量（毕竟$k\leq n$，$k-10\leq n-10\leq n$，都属于前$n$步的观测信息），它们的乘积也是$\mathcal{F}n$可测的，因此${X_k \cdot X{k-10}\leq5} \in \mathcal{F}_n$。
  有限个$\mathcal{F}n$可测集合的并集仍然属于$\mathcal{F}n$，所以$\bigcup{k=11}^n {X_k \cdot X{k-10}\leq5} \in \mathcal{F}_n$，也就是${\tau_1\leq n} \in \mathcal{F}_n$。

综上，$\tau_1$满足停时的定义，是停时。

二、$\tau_2$不是停时的反例说明 #

$\tau_2=\sup {n \in \mathbb{N}_0 : X_n>42}$是“最后一个使得$X_n>42$的时刻”（对称随机游走常返，几乎必然会回到0，所以$\tau_2$有限的概率为1，但这不影响停时的判定）。

停时要求我们在每个时刻$n$，仅通过前$n$步的观测（$\mathcal{F}_n$中的信息）就能判断$\tau_2$是否≤n，但$\tau_2$的定义涉及未来所有时刻的路径信息：

• ${\tau_2\leq n}$等价于“所有$m>n$的时刻，都有$X_m\leq42$”，这个事件无法用前$n$步的观测来确定——比如当$X_n=0$时，我们无法从当前路径判断未来是否还会走到42以上（对称随机游走几乎必然会走到任意大的整数，但作为集合事件，存在路径永远不超过42，只是概率为0）。

举个具体的小例子：取$n=0$，$\mathcal{F}_0$是由$X_0=0$生成的平凡σ-代数（只有$\emptyset$和样本空间$\Omega$），但${\tau_2\leq0}$是“永远没有$m>0$使得$X_m>42$”，这个集合既不是$\emptyset$也不是$\Omega$，显然不属于$\mathcal{F}_0$，直接违反了停时的定义。

因此$\tau_2$不是停时。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Analysis