关于Jordan Normal Form基中特征向量顺序规则的问询

我现在有点搞不懂了——我之前一直以为Jordan标准形（JNF）分解里基的特征向量顺序是无所谓的。可能我计算过程出错了，但如果没错的话，这里面有没有通用的规则呢？这个问题特指只有一个特征值的情况，看起来好像没有明确的顺序可以遵循。

我们有矩阵：
$$
\begin{equation*}
A =
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \
0 & 4 & -1 \
0 & 1 & 2 \
\end{bmatrix}
\end{equation*}
$$

计算得到特征多项式：
$$ det(A - \lambda I) = (-\lambda + 3)(\lambda^{2} - 6\lambda + 9) $$
$$ \therefore \lambda_{1} = 3 \ \textrm{(代数重数为3)}$$

求解特征向量，得到特征空间：
$$
\begin{equation*}
E_{\lambda_{1}} = span {
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
\end{bmatrix}^{T},
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}^{T}
}
\end{equation*}
$$

接下来，用下面的式子生成第三个广义特征向量：
$$
\begin{equation}
\tag{∗}
(A - \lambda I)v_{n+1} = b_{n}
\end{equation}
$$

对应的增广矩阵行最简形变换：
$$
\left[
\begin{array}{ccc|c}
0 & 0 & 0 & 1 \
0 & 1 & -1 & 0 \
0 & 1 & -1 & 0
\end{array}
\right]
\xrightarrow{\text{RREF}}
\left[
\begin{array}{ccc|c}
0 & 1 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
$$

现在我们有三个可以构成基$B$的向量：
$$
b_{1} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{bmatrix},
\ b_{2} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix},
\ b_{3} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}
$$

我原本以为用(∗)生成的向量顺序就能得到Jordan标准形：
$$
\begin{align}
J &= B^{-1}AB \
&=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 1 \
1 & 0 & 0 \
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \
0 & 4 & -1 \
0 & 1 & 2 \
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 1 \
1 & 0 & 0 \
\end{bmatrix} \
&=
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 1 \
0 & 3 & 0 \
0 & 0 & 3 \
\end{bmatrix}
\end{align}
$$
但显然这不是Jordan标准形。

不过当我调整基的顺序为$B = [b_{1}, b_{3}, b_{2}]$，也就是：
$$ B =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \
1 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0 \
\end{bmatrix}
$$

计算得到：
$$
\begin{align}
J &= B^{-1}AB \
&=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \
1 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0 \
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \
0 & 4 & -1 \
0 & 1 & 2 \
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \
1 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0
\end{bmatrix} \
&=
\begin{bmatrix}
3 & 1 & 0 \
0 & 3 & 0 \
0 & 0 & 3
\end{bmatrix}
\end{align}
$$
这才是正确的Jordan标准形。

这让我有点摸不着头脑——基的顺序到底有没有通用规则呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dillon Shah