二元正态分布下X+Y的分布求解技术问询

咱们来一步步拆解这个问题哈：

已知条件：给定$Y=y$时，$X$的条件分布是$N(y,1)$，$Y$的边缘分布是$N(0,\sigma^2)$，求$X+Y$的分布？

这里有个挺实用的技巧可以用上——我们可以把$X+Y$变形为$X-Y+2Y$。接下来只需要完成两个关键步骤：

• 证明$X-Y$和$Y$是相互独立的随机变量
• 确定这两个变量各自的正态分布参数

因为正态分布的线性组合依然服从正态分布，只要搞定上面两点，就能直接得出$X+Y$的分布类型和对应的参数啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者UniformIntegrability