关于拓扑空间范畴$ extbf{Top}$中满态射与收缩映射不重合的反例验证问询

你找对路子啦！你的思路完全正确——只要构造一个连续满射但不是拓扑收缩的映射，就能作为$\textbf{Top}$范畴里「满态射≠收缩映射」的反例。

先帮你再理清楚范畴里的对应关系：

• 在$\textbf{Top}$中，满态射确实就是连续的满射；
• 收缩映射（retractions，也就是split epimorphisms）等价于拓扑收缩，意思是存在一个连续映射$s: Y \to X$，使得$f \circ s = \text{id}_Y$（这个$s$就是$f$的连续右逆）。

给你一个经典的具体反例：
考虑映射$f: [0,1] \to S^1$，定义为$f(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$。这显然是连续满射——它把单位区间的两端粘在一起，卷成了圆周。

现在我们证明它不是拓扑收缩：假设存在连续映射$s: S^1 \to [0,1]$满足$f \circ s = \text{id}_{S^1}$，那我们看基本群的诱导同态：

• $S^1$的基本群是$\mathbb{Z}$（非平凡），而$[0,1]$是可缩空间，基本群平凡；
• 如果$s$存在，那么$s$诱导的基本群同态$s_*: \pi_1(S^1) \to \pi_1([0,1])$会把非平凡的$\mathbb{Z}$映射到平凡群；
• 同时$f$诱导的同态$f_*: \pi_1([0,1]) \to \pi_1(S^1)$是平凡同态（因为定义域基本群平凡）；
• 那么$(f \circ s)* = f* \circ s_*$必然是平凡同态，但$\text{id}_{S^1}$的诱导同态是恒等同态（非平凡），这就产生了矛盾。

所以这样的连续右逆$s$不存在，也就是说$f$是$\textbf{Top}$中的满态射，但不是收缩映射，刚好验证了你要的结论。

总结一下：你的想法没问题，只要找到这类「连续满射但无连续右逆」的映射，就是有效的反例，上面这个卷区间到圆周的例子就是最直观的一个。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者naan2224