单侧假设检验中II类错误概率β的计算疑问求助

大家好，我最近在做一道假设检验的题目，卡在计算II类错误概率β的步骤上了，想请各位帮忙看看哪里出问题了！

题目内容是这样的：

假设你使用显著性水平$α=0.05$来检验主张$μ<20$，样本是33个随机值。已知总体实际服从正态分布，$μ_1=15$，$σ=7$，求$β$。

以下是我目前的推导过程，到某一步就不确定对错了：

• 首先我设定了原假设和备择假设：
  $H_0: μ = 20$
  $H_1: μ < 20$
  不过我不太确定这个假设设定是否正确。
• 我记得计算β的核心是求 P(不拒绝$H_0$ | $μ=15$)，这个思路应该没错吧？
• 接着我计算了样本均值的临界值：$\bar X = 20 + \frac{7}{\sqrt{33}}(-1.96) = 17.61$
• 之后我觉得接下来应该求在$μ=15$、$σ=7$的条件下，$\bar X > 17.61$的概率，但心里总觉得哪里不对，想请大家帮我指出推导过程中的错误点。

提前谢谢各位的帮忙！

编辑：修改了原假设和备择假设

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bill Cogn