特征为n>0的域上多项式xⁿ-x-a的可分性及分裂性证明问询

问题描述 #

设$K$是特征为$n>0$的域，对任意$a \in K$，定义多项式$p(x) = x^n - x - a \in K[x]$，需要完成两个证明：

• 证明$p(x)$是可分多项式；
• 若$p(x)$在$K$中有根，则证明$p(x)$在$K[x]$中可以分解为一次因式的乘积。

我的尝试（第一部分） #

我知道一个多项式是可分的当且仅当它没有重根，这等价于它的导数$p'(x)$不是零多项式。

计算导数：
$p'(x) = nx^{n-1} - 1$
因为域$K$的特征是$n$，所以$nx^{n-1}=0$，于是$p'(x) = -1$，显然不是零多项式，所以$p(x)$是可分的。

不过第二部分我不太清楚该怎么推导，求指点~

第二部分证明补充 #

别急，我来给你理清楚第二部分的思路：

假设$\alpha \in K$是$p(x)$的一个根，也就是满足$\alpha^n - \alpha - a = 0$，即$\alpha^n = \alpha + a$。

现在我们可以验证，对于任意$k = 0,1,\dots,n-1$，元素$\alpha + k$（这里的$k$是域$K$中对应整数$k$的元素，也就是$1$累加$k$次的结果）都是$p(x)$的根：

计算$(\alpha + k)^n - (\alpha + k) - a$，根据特征为$n$的域的性质，$(x+y)^n = x^n + y^n$（因为中间项的组合数都是$n$的倍数，在特征$n$的域里会被消为0），所以：
$(\alpha + k)^n = \alpha^n + k^n$
又因为在特征$n$的域中，任意元素$x$都满足$x^n = x$（这是费马小定理在特征域的推广，对于整数对应的域元素$k$，自然也满足$k^n = k$）。

把这些结论代入计算：
$(\alpha + k)^n - (\alpha + k) - a = (\alpha^n + k) - \alpha - k - a = \alpha^n - \alpha - a$
而因为$\alpha$是根，$\alpha^n - \alpha - a = 0$，所以$\alpha + k$必然也是$p(x)$的根。

现在，$p(x)$是$n$次多项式，我们已经找到了$n$个不同的根：$\alpha, \alpha+1, \alpha+2, \dots, \alpha+(n-1)$（为什么不同？假设$\alpha + k = \alpha + m$，根据域的加法消去律，直接可得$k=m$）。

再结合第一部分证明的$p(x)$是可分多项式（无重根），这$n$个不同的根就是$p(x)$的全部根，因此$p(x)$可以分解为：
$p(x) = \prod_{k=0}^{n-1} (x - (\alpha + k))$
也就是在$K[x]$中完全分裂为一次因式的乘积了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wanymose