证明Banach代数ℓ¹(ℤ)不是C*-代数的技术问询

没问题，我来帮你构造一个具体的函数 ( f \in \ell^1(\mathbb{Z}) )，直接验证它不满足C*-代数的核心条件 ( |f^* f|_1 = |f|_1^2 )，这样就能证明 ( \ell^1(\mathbb{Z}) ) 不是C*-代数了。

步骤1：构造目标函数 ( f ) #

我们选一个有限支撑的函数（这样计算卷积会非常直观）：

• ( f(0) = 1 )
• ( f(1) = 1 )
• ( f(2) = -1 )
• 对所有其他整数 ( n )，( f(n) = 0 )

步骤2：计算 ( |f|_1 ) #

ℓ¹范数是所有元素绝对值的和：
[
|f|_1 = |f(0)| + |f(1)| + |f(2)| = 1 + 1 + 1 = 3
]
因此 ( |f|_1^2 = 3^2 = 9 )。

步骤3：计算 involution ( f^* ) #

根据题目给出的定义 ( f^*(n) = \overline{f(-n)} )，我们可以得到：

• ( f^*(0) = \overline{f(0)} = 1 )
• ( f^*(-1) = \overline{f(1)} = 1 )
• ( f^*(-2) = \overline{f(2)} = \overline{-1} = -1 )
• 对所有其他整数 ( n )，( f^*(n) = 0 )

步骤4：计算卷积 ( f^* f ) #

ℓ¹(ℤ)中的乘法是卷积，定义为：
[
(f^* f)(k) = \sum_{m \in \mathbb{Z}} f^*(m) \cdot f(k - m)
]
我们只需要计算所有可能非零的 ( k ) 值：

• 当 ( k=-2 )：只有 ( m=-2 ) 时，( f^(m) ) 和 ( f(k-m) = f(0) ) 都非零，所以 ( (f^ f)(-2) = (-1) \cdot 1 = -1 )，绝对值为1。
• 当 ( k=-1 )：( m=-2 ) 时项为 ( (-1) \cdot f(1) = -1 )，( m=-1 ) 时项为 ( 1 \cdot f(0) = 1 )，总和为 ( -1+1=0 )，绝对值为0。
• 当 ( k=0 )：( m=-2 ) 时项为 ( (-1) \cdot f(2) = (-1)\cdot(-1)=1 )，( m=-1 ) 时项为 (1 \cdot f(1)=1)，( m=0 ) 时项为 (1 \cdot f(0)=1)，总和为 (1+1+1=3)，绝对值为3。
• 当 ( k=1 )：( m=-1 ) 时项为 (1 \cdot f(2)=-1)，( m=0 ) 时项为 (1 \cdot f(1)=1)，总和为 ( -1+1=0 )，绝对值为0。
• 当 ( k=2 )：( m=0 ) 时项为 (1 \cdot f(2)=-1)，其他项都是0，总和为-1，绝对值为1。
• 所有其他 ( k ) 值对应的 ( (f^* f)(k) = 0 )。

步骤5：计算 ( |f^* f|_1 ) #

同样取绝对值之和：
[
|f^* f|_1 = |-1| + |0| + |3| + |0| + |-1| = 1 + 0 + 3 + 0 + 1 = 5
]

结论 #

显然 ( 5 \neq 9 )，也就是 ( |f^* f|_1 \neq |f|_1^2 )，这直接违反了C*-代数必须满足的 ( |a^* a| = |a|^2 ) 条件。因此 ( \ell^1(\mathbb{Z}) ) 在给定的involution和L¹范数下不是C*-代数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user781460