关于Hovey《模型范畴》命题1.3.5中“functorial”含义的技术问询

先快速梳理一下我们的范畴论背景设定：

• 对任意带有终对象$$的范畴$\mathcal{C}$，记$\mathcal{C}_$为余切片范畴$/\mathcal{C}$。存在伴随对$V_{\mathcal{C}} \dashv U_{\mathcal{C}}: \mathcal{C}_ \to \mathcal{C}$，其中$U_{\mathcal{C}}$是遗忘函子。
• 设$\mathcal{C}, \mathcal{D}$是带终对象的范畴，$F \dashv G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$是伴随对。则存在伴随对$F_* \dashv G_: \mathcal{D}_ \to \mathcal{C}*$满足$GU{\mathcal{D}} = U_{\mathcal{C}}G_$；进而存在唯一的自然同构$F_V_{\mathcal{C}} \Rightarrow V_{\mathcal{D}}F$，其分量由使下述交换图成立的性质唯一确定：
  $$\begin{CD}
  \mathcal{D}_(V_{\mathcal{D}}Fc,-)@>{\sim}>> \mathcal{C}(c,GU_{\mathcal{D}}-)\
  @VVV @| \
  \mathcal{D}_(F_V_{\mathcal{C}}c,-)@>{\sim}>> \mathcal{C}(c,U_{\mathcal{C}}G_-)
  \end{CD}$$

接下来引入第三个带终对象的范畴$\mathcal{E}$，以及伴随对$H \dashv K: \mathcal{E} \to \mathcal{D}$。此时我们能得到两种从$(HF)*V{\mathcal{C}} \Rightarrow V_{\mathcal{E}}HF$的自然同构：

第一种自然同构 #

直接套用之前的结论，这个自然同构是唯一的，其分量使下述交换图交换：
$$\begin{CD}
\mathcal{E}*(V{\mathcal{E}}HFc,-)@>{\sim}>> \mathcal{C}(c,GKU_{\mathcal{E}}-)\
@VVV @| \
\mathcal{E}*((HF)V_{\mathcal{C}}c,-)@>{\sim}>> \mathcal{C}(c,U_{\mathcal{C}}(GK)_-)
\end{CD}$$

第二种自然同构 #

通过“水平合成”并利用$(HF)*$修正$HF_$得到，对应的交换图是：
$$\begin{CD}
\mathcal{E}*(V{\mathcal{E}}HFc,-)@>{\sim}>> \mathcal{C}(c,GKU_{\mathcal{E}}-)\
@VVV @| \
\mathcal{E}*(HV_{\mathcal{D}}Fc,-)@>{\sim}>> \mathcal{C}(c,GU_{\mathcal{D}}K_-)\
@VVV @| \
\mathcal{E}*(HF_V_{\mathcal{C}}c,-)@>{\sim}>> \mathcal{C}(c,U_{\mathcal{C}}G_K_-)\
@VVV @| \
\mathcal{E}_((HF)*V{\mathcal{C}}c,-)@>{\sim}>> \mathcal{C}(c,U_{\mathcal{C}}(GK)_-)
\end{CD}$$
这里左下角的垂直自然同构是由使最下方方块交换的性质唯一定义的；上方两个垂直等价则源于下述一般结论（及其对偶）：

设$L_0,L_1:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$和$R:\mathcal{B}\to\mathcal{A}$是三个函子，且$L_0,L_1\dashv R$；则存在唯一的自然同构$\gamma:L_1\Rightarrow L_0$，其分量$\gamma_a$使下述方块交换：
$$\begin{CD}
\mathcal{B}(L_0a,-)@>{\sim}>> \mathcal{A}(a,R-)\
@VV-\circ \gamma_a V @| \
\mathcal{B}(L_1a,-)@>{\sim}>> \mathcal{A}(a,R-)
\end{CD}$$
若$L'\dashv R':\mathcal{C}\to\mathcal{B}$是另一个伴随对，则$L'\gamma: L'L_1\Rightarrow L'L_0$是唯一的自然同构，其分量使下述方块交换：
$$\begin{CD}
\mathcal{C}(L'L_0a,-)@>{\sim}>> \mathcal{A}(a,RR'-)\
@VV-\circ L\gamma_aV @| \
\mathcal{C}(L'L_1a,-)@>{\sim}>> \mathcal{A}(a,RR'-)
\end{CD}$$

现在回到你的核心问题：你提到的这两种自然同构相等，是不是Hovey在《模型范畴》命题1.3.5中说“$F_*V_{\mathcal{C}}$与$V_{\mathcal{D}}F$自然同构，且这个对应是函子性的”所指的内容？

我觉得你的思路完全踩中了关键点！这里的“函子性”本质上就是说：当我们把复合伴随对$(HF)$对应的自然同构，和先取$F$对应的同构再取$H$对应的同构（通过水平合成）做对比时，二者完全一致——这正是函子性的核心体现：“复合伴随对对应的结构同构，等于各伴随对对应同构的复合”。

要把这个严格转化为函子性的表述，我们可以把“带终对象范畴之间的伴随对”看作一个范畴：对象是带终对象的范畴，态射是伴随对中的左伴随$F$（因为右伴随由左伴随唯一确定到自然同构）。然后你构造的自然同构$F_*V_{\mathcal{C}} \Rightarrow V_{\mathcal{D}}F$就定义了一个从这个范畴到“自然同构构成的2-范畴”的2-函子：

• 对每个范畴$\mathcal{C}$，指派函子$V_{\mathcal{C}}: \mathcal{C} \to \mathcal{C}_*$
• 对每个伴随对$F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$，指派自然同构$F_*V_{\mathcal{C}} \Rightarrow V_{\mathcal{D}}F$
• 而你证明的“两种同构相等”，正好就是这个2-函子对态射复合的保持性——也就是函子性的核心要求。

所以你的论证完全正确，这就是Hovey所说的“函子性”的严格内涵：这个自然同构的构造与伴随对的复合是相容的，符合函子（更准确说是2-函子）的复合保持性质。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jerry Scott