利用Berry-Esseen定理证明泊松分布场景下的依分布收敛

先给大家理清楚背景：咱们有独立同分布的泊松随机变量 $X_1, \ldots, X_n \sim i.i.d. Po(\lambda)$，现在要处理一个假设检验问题 $H_0: \lambda = \lambda_0, H_1: \lambda > \lambda_0$，这是《Elements of Large-Sample Theory》第162页的例3.3.2。

问题目标 #

我需要证明：当 $\lambda_n \to \lambda_0$ 时，
$$
\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\lambda_n)}{\sqrt{\lambda_n}} \xrightarrow{L} N(0,1)
$$

已有的推导基础 #

我已经推导出，当 $\lambda_n \to \lambda_0$ 时：
$$
\frac{\mathbb{E}[|X_1 - \lambda_n|^{3]}{\lambda_n}{3/2}} \to \frac{\mathbb{E}[|X_1 - \lambda_0|^{3]}{\lambda_0}{3/2}} < \infty
$$
这个结论来自两个很直观的事实：

• 泊松分布的三阶中心矩 $\mathbb{E}[|X_1 - \lambda|^3]$ 是关于$\lambda$的连续函数（具体表达式是$\lambda + 3\lambda^2 + \lambda^3$，一眼就能看出来连续），所以当$\lambda_n$趋近于$\lambda_0$时，这个期望会收敛到$\mathbb{E}[|X_1 - \lambda_0|^3]$，而且显然是有限的；
• $\lambda_n^{3/2}$ 会收敛到$\lambda_0^{3/2}$，而$\lambda_0$作为泊松分布的参数肯定大于0，所以分母不会趋近于0或者无穷。

基于这个结果，我们可以直接套用Berry-Esseen定理，得到以下不等式：
$$
|F_n(x) - \Phi(x)| \leq \frac{C}{\sqrt{n}} \frac{\mathbb{E}[|X_1 - \lambda_n|^{3]}{\lambda_n}{3/2}}
$$
这里解释一下符号：$F_n(x)$是统计量 $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\lambda_n)}{\sqrt{\lambda_n}}$ 的累积分布函数（CDF），$\Phi(x)$是标准正态分布的CDF，$C$是一个普适的常数（业界一般取不超过0.5的数值）。

从Berry-Esseen到依分布收敛的关键步骤 #

现在我们要把上面的不等式转化为目标的依分布收敛。首先回忆一下依分布收敛的定义：对于标准正态CDF $\Phi(x)$ 的每一个连续点$x$，都要满足 $\lim_{n \to \infty} F_n(x) = \Phi(x)$。

首先，因为$\frac{\mathbb{E}[|X_1 - \lambda_n|^{3]}{\lambda_n}{3/2}}$收敛到一个有限值，根据收敛序列的性质，这个比值一定是有界的——也就是说存在某个有限的正数$M$，使得对于所有足够大的$n$，都有 $\frac{\mathbb{E}[|X_1 - \lambda_n|^{3]}{\lambda_n}{3/2}} \leq M$。

把这个有界性代入Berry-Esseen的不等式，就得到：
$$
|F_n(x) - \Phi(x)| \leq \frac{C \cdot M}{\sqrt{n}}
$$
现在看右边的项：$C$和$M$都是有限常数，当$n$趋向于无穷大时，$\frac{C \cdot M}{\sqrt{n}}$会趋向于0。这就意味着，不管你给定多么小的正数$\epsilon$，只要$n$足够大，$|F_n(x) - \Phi(x)|$就会小于$\epsilon$——这完全符合依分布收敛的定义！

另外补充一点：这里的$\lambda_n$是依赖于$n$的序列，但因为它收敛到$\lambda_0$，所以对应的三阶中心矩比值的极限是有限的，这就保证了Berry-Esseen给出的误差上界会随着$n$的增大而逐步趋近于0，最终就推导出了我们想要的依分布收敛结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ytnb