关于对称PSD矩阵与外积和矩阵的奇异向量及奇异值关系的技术问询

嘿，这个问题问得相当到位！咱们从线性代数的本质出发，一步步拆解你的疑问：

先看U和V₂的关系 #

首先明确几个关键定义：

• 因为P是对称PSD矩阵，它的SVD其实就是特征分解——U是P的正交特征向量矩阵，列向量张成的空间就是$\text{span}{p_1,p_2,...,p_N}$（P的列空间），$\Sigma_p$的对角元就是P的特征值。
• 对于矩阵A的SVD $A = V_1\Sigma_aV_2^{\top$，$V_2$是$A}\top$的左奇异向量，同时也是$A^\top A$的正交特征向量矩阵。

现在我们来推导$A^\top A$的表达式：
$$
A^\top A = \left(\sum_{i=1}^N p_i a_i^{\top\right)\left(\sum_{j=1}}N a_j p_j^\top\right) = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}N (a_i^\top a_j) p_i p_j^\top
$$

由于你提到$a_i$是独立于所有$p_j$的随机向量，我们可以分两种情况看：

1. 从期望角度：如果$a_i$是零均值的随机向量，那么交叉项$\mathbb{E}[a_i^\top a_j] = 0$（$i≠j$），此时：
   $$
   \mathbb{E}[A^\top A] = \mathbb{E}[|a_i|^2] \sum_{i=1}^N p_i p_i^\top = cP
   $$
   这里$c = \mathbb{E}[|a_i|^{2]$是常数。这时候$\mathbb{E}[A}\top A]$和P成比例，它们的特征向量完全一致——也就是说$V_2$的期望和U是相同的正交基。
2. 单个样本角度：对于某一组具体的$a_i$，$A^\top A$和P不一定成比例，但它们的列空间是一致的（都是$\text{span}{p_1,...,p_N}$）。所以$V_2$的列张成的空间和U的列张成的空间完全相同，只是可能是这个空间的另一组正交基，不一定和U完全重合。

再看$\Sigma_p$和$\Sigma_a$的关系 #

$\Sigma_p$的对角元是P的特征值$\lambda_1≥\lambda_2≥...≥\lambda_n≥0$；$\Sigma_a$的对角元是A的奇异值$\sigma_1≥\sigma_2≥...≥\sigma_{\text{min}(m,n)}≥0$，而$\sigma_k^2$就是$A\top A$的特征值$\mu_k$。

同样分两种情况：

• 期望层面：延续上面的结论，$\mathbb{E}[\mu_k] = c\lambda_k$，所以$\mathbb{E}[\sigma_k] = \sqrt{c\lambda_k}$——奇异值的期望和P特征值的平方根成比例。
• 单个样本层面：没有确定的一一对应关系，因为$\mu_k$（也就是$\sigma_k^{2$）依赖于具体$a_i$的取值。只有当所有$a_i$是同一个固定向量的倍数时，$A}\top A$才会和P严格成比例，此时$\sigma_k = \sqrt{|a_i|^2}\sqrt{\lambda_k}$。

总结一下：U和V₂张成的空间必然一致，在零均值随机$a_i$的情况下，它们的期望完全相同；而$\Sigma_p$和$\Sigma_a$在期望层面有明确的比例关系，但单个样本下没有固定对应。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Iascaire