关于柯西问题$u_x-y u_y=2 u$解的存在性的论证修正及选项分析请求

我正在处理这个一阶偏微分方程的柯西问题，想请各位帮忙修正我的论证思路，同时分析各个选项的正确性：

问题：考虑方程 $$u_x-y u_y=2 u,$$ 满足初始条件 $u(x, 0)=f(x)$。判断以下哪些选项成立：

• (a) 若函数$f$不是$e^{2x}$的标量倍数，则解存在。
• (b) 若函数$f$是$e^{2x}$的标量倍数，则存在无穷多解。
• (c) 若函数$f$是$e^{2x}$的标量倍数，则无解。
• (d) 若函数$f$不是$e^{2x}$的标量倍数，则存在无穷多解。

我的尝试过程 #

我首先利用拉格朗日特征方程组进行分析：
$$\frac{dx}{1}=\frac{dy}{-y}=\frac{du}{2u},$$
推导得到特征曲面 $ue^{-2x}=c$，其中$c=f(0)$。我认为这个结论可以用来分析选项(b)和(c)，但还没完全梳理清楚逻辑。

不过我尝试代入一些具体的$f$函数（比如非零多项式、对数函数、三角函数）来验证解的存在性，原本想证明当$f$不是$e^{2x}$的标量倍数时，这个柯西问题没有解，但始终没法完成严格的非存在性证明——虽然从特征线参数形式：
$$x(s,t)=t+s,_y(s,t)=0,u(s,t)=f(s)e^{-2t}$$
来看，解和初始条件似乎不匹配，但我就是没法把这个思路转化为严谨的论证。

希望各位能帮我修正现有的论证逻辑，同时指导我如何分析选项(a)和(d)，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Riaz