关于非奇异有理矩阵与整数格点集映射的两个问题咨询

各位好，我最近在研究有理矩阵和整数格点集的映射问题，有个疑问想请教大家：

给定非奇异有理矩阵 $Q \in \mathbb Q^{n\times n}$，存在哪些必要条件可以使得 $Q(\mathbb Z^{n}) \supseteq \mathbb Z^{n}$？

我自己先做了一些初步思考，想和大家交流：

• 如果Q是整数矩阵的话，结论很清晰：$Q(\mathbb Z^{n}) = \mathbb Z^{n}$ 当且仅当 $Q \in GL(n, \mathbb{Z})$（也就是Q是行列式为±1的整数可逆矩阵）。
• 但扩展到一般有理矩阵时，我就不太确定了。比如我构造了这样一个例子：
  $Q=\begin{bmatrix}
  0 & 2 \
  0.5 & 0
  \end{bmatrix}$，它属于 $GL(2, \mathbb{Q})$（非奇异有理矩阵），不仅阶数有限，特征多项式也具备整数系数，但实际验证下来 $Q(\mathbb Z^{2}) \nsupseteq \mathbb Z^{2}$。

不知道有没有相关的理论结论或者分析思路可以分享？非常期待各位的解答！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ghc1997